Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a programação dinâmica não traz ganho real de velocidade para o merge sort?

  1. AA programação dinâmica só funciona em problemas de grafos, não em vetores
  2. BO merge sort já é O(n)
  3. CO merge sort não tem estrutura recursiva
  4. DSeus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. A2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
  2. BSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  3. CSatisfatibilidade de circuitos
  4. D3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
3.Estruturas de dadosMédia

Uma fila é implementada com duas pilhas: push numa pilha "in" e pop numa pilha "out", reabastecida a partir de "in" quando está vazia. Qual é o custo amortizado por operação?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

  1. AA raiz deve ser vermelha
  2. BTodo nó deve ser vermelho
  3. CTodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
  4. DTodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
171011420715ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice E. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3.

início: Ek = 3
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar

Porque é esta a resposta

As metades do merge sort são disjuntas e cada uma é resolvida uma vez; a PD só ajuda quando os subproblemas se repetem, como no Fibonacci.

Resposta

D · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

A · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(1)

Porque é esta a resposta

Cada elemento é empilhado e desempilhado no máximo duas vezes no total, então, embora um reabastecimento possa levar O(n), a média em uma sequência é O(1).

Resposta

B · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

C · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices ímpares

A, B, C, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BC

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. DE (7)
2. BD (14)
3. BC (1)
4. AC (10)

número da aresta 3

BC

Resposta

aresta BC

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