Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quanto espaço de pilha usa uma função fatorial recursiva simples fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da mochila 0/1 resolvido com programação dinâmica leva tempo O(nW). Por que isso é chamado de pseudopolinomial?

  1. AW é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
  2. BPorque só funciona para W = 0
  3. CPorque o algoritmo é aleatorizado e seu tempo de execução varia a cada entrada
  4. DPorque n é sempre pequeno
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. Di + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Sob hashing uniforme simples, qual é o tempo esperado de uma busca em uma tabela hash com encadeamento, n chaves e m buckets?

  1. AO(1 + α), em que α = n / m
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
11510161239411ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

A recursão chega a n chamadas de profundidade antes de qualquer retorno, e cada chamada precisa de um quadro de pilha, então usa espaço O(n).

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W

Porque é esta a resposta

O tempo de execução é polinomial no valor de W, mas exponencial no seu comprimento (log W bits); a mochila 0/1 é NP-completa.

Resposta

A · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
3.Estruturas de dados

Resposta: A · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

A · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(1 + α), em que α = n / m

Porque é esta a resposta

Calcular o hash custa O(1) e o comprimento esperado da cadeia é α, então manter α limitado por redimensionamento dá tempo esperado O(1).

Resposta

A · O(1 + α), em que α = n / m
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 17 − 11 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 29

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AB (1): tomar
DE (3): tomar
EF (4): tomar
DF (9): descartar, fecha um ciclo
BC (10): tomar
BE (11): tomar

Peso total

W = 1 + 3 + 4 + 10 + 11 = 29

Resposta

W = 29

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