Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
  2. BEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
  3. CEscolher primeiro a atividade mais curta
  4. DEscolher a atividade que começa mais cedo
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que o teorema de Cook–Levin estabeleceu?

  1. AO problema da parada é indecidível
  2. BTodo problema NP pode ser resolvido em tempo exponencial
  3. CO problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
  4. DP é diferente de NP
3.Estruturas de dadosMédia

Por que um heap binário pode ser armazenado em um array sem nenhum ponteiro?

  1. AÉ uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice
  2. BArrays mantêm as chaves automaticamente em ordem, então não são necessários ponteiros
  3. CHeaps nunca têm mais de 100 elementos
  4. DTodas as chaves de um heap são iguais
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual afirmação sobre o heapsort está correta?

  1. AÉ estável e precisa de O(n) de memória extra
  2. BOrdena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
  3. CPrecisa de uma árvore binária de busca como armazenamento extra, então usa O(n) de memória adicional
  4. DRoda em tempo O(n) para qualquer entrada
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
5718112128ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo

Porque é esta a resposta

Cook e Levin mostraram, de forma independente, que todo problema em NP se reduz ao SAT em tempo polinomial, então o SAT foi o primeiro problema NP-completo conhecido.

Resposta

C · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
3.Estruturas de dados

Resposta: A · É uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice

Porque é esta a resposta

Ser completa significa não ter lacunas, então os filhos do índice i estão sempre em 2i + 1 e 2i + 2.

Resposta

A · É uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável

Porque é esta a resposta

O heapsort constrói um max-heap e extrai o máximo n vezes dentro do mesmo array; trocas a longas distâncias podem mudar a ordem de chaves iguais.

Resposta

B · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

B, C → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: F

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 12, D: 6, G: 7
3. D (6): E: 17, F: 8
4. G (7)
5. F (8): E: 9
6. E (9)
7. C (12)

rodada 5

F

Resposta

F

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