Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de log₂ n
  2. BCerca de n / 2
  3. CCerca de n
  4. DCerca de √n
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Caminhos simples mínimos podem ser encontrados em tempo polinomial. O que se sabe sobre encontrar o caminho simples mais longo entre dois vértices num grafo geral?

  1. APode ser resolvido pelo algoritmo de Dijkstra com os pesos negados
  2. BÉ sempre solúvel em O(V + E)
  3. CÉ NP-difícil
  4. DÉ indecidível
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. ATodo nó é colorido de vermelho ou preto
  2. BAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  3. CAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
  4. DTodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
4.Estruturas de dadosDifícil

As chaves 5, 3, 8, 1 são inseridas nessa ordem em um min-heap binário vazio baseado em array. Qual é o array final?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 15 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 15
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
51316410183215ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

A · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · É NP-difícil

Porque é esta a resposta

Um caminho simples mais longo de comprimento V − 1 é um caminho hamiltoniano, um problema NP-completo; em grafos acíclicos dirigidos, porém, é solúvel em tempo linear.

Resposta

C · É NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: B · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

B · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · [1, 3, 8, 5]

Porque é esta a resposta

Depois de 5, 3, 8, o array é [3, 5, 8]; 1 vai para o índice 3, troca com o pai 5 e depois com 3, o que dá [1, 3, 8, 5].

Resposta

A · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 15 − 10 = 5

Resposta

k = 5
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 51

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GD (2): tomar
GB (3): tomar
BD (4): descartar, fecha um ciclo
AB (5): tomar
DE (10): tomar
AC (13): tomar
GE (15): descartar, fecha um ciclo
BC (16): descartar, fecha um ciclo
DF (18): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 5 + 10 + 13 + 18 = 51

Resposta

W = 51

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