Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo de ordenação é estável?

  1. AMerge sort
  2. BQuicksort (versão in-place típica)
  3. CSelection sort (versão típica)
  4. DHeap sort
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. ASAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  2. BSatisfatibilidade de circuitos
  3. C3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  4. D2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. An (ela vira uma lista encadeada)
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. D√n
4.Estruturas de dadosDifícil

Como detectar se uma lista simplesmente encadeada contém um ciclo usando O(1) de memória extra?

  1. AContar os nós até a contagem passar do campo de tamanho da lista
  2. BOrdenar a lista e procurar duplicatas
  3. CGuardar cada nó visitado em um conjunto hash
  4. DMover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
121311251113611ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Merge sort

Porque é esta a resposta

O merge sort é estável quando, em caso de empate, a intercalação pega primeiro da metade esquerda. Quicksort in-place, heap sort e selection sort geralmente não são estáveis.

Resposta

A · Merge sort
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: A · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

A · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram

Porque é esta a resposta

No algoritmo de Floyd, se houver um ciclo, o ponteiro rápido acaba alcançando o lento; caso contrário, o ponteiro rápido chega a null.

Resposta

D · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 14

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Resposta

L = 14

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 35

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 12, C: 13
B (12): D: 24, G: 25
C (13): G: 19
G (19)
D (24): E: 29, F: 35
E (29)
F (35)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 35

Resposta

d(F) = 35

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