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1Fórmulas e métodos
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
2Exercícios
1.Algoritmos e complexidadeMédia
Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?
AO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
BO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
CO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
DO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
2.Algoritmos e complexidadeDifícil
O algoritmo de Strassen multiplica matrizes usando 7, em vez de 8, multiplicações recursivas de blocos de metade do tamanho. Qual é o seu tempo de execução?
AΘ(n2)
BΘ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
CΘ(n³)
DΘ(n² log n)
3.Estruturas de dadosMédia
As chaves 50, 30, 70, 20, 40 são inseridas nessa ordem em uma árvore binária de busca vazia. Qual é o filho esquerdo de 30?
A70
B40
C50
D20
4.Estruturas de dadosDifícil
Qual problema da sondagem linear o hashing duplo reduz principalmente?
AO agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
BO custo O(n) de ler o valor de uma chave
CA necessidade de uma função hash
DA necessidade de armazenar as chaves na tabela
5.Teoria dos grafosMédia
O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.
|V| = 5|E| = 6
1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.
|V| = 6|E| = 8
W =
3Soluções
1.Algoritmos e complexidade
Resposta: A · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
Porque é esta a resposta
O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.
Resposta
A · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade
Resposta: B · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
Porque é esta a resposta
Com a = 7 e b = 2, nlog₂ 7 domina o trabalho O(n²) das adições, o que dá cerca de n2,81.
Resposta
B · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dados
Resposta: D · 20
Porque é esta a resposta
20 é menor que 50 e menor que 30, então se torna o filho esquerdo de 30; 40 se torna o filho direito.
Resposta
D · 20
4.Estruturas de dados
Resposta: A · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
Porque é esta a resposta
A sondagem linear avança de 1 em 1, então as sequências ocupadas crescem e se fundem; o hashing duplo usa um segundo hash para o tamanho do passo, de modo que chaves diferentes sondam sequências diferentes.
Resposta
A · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafos
Resposta: Circuito euleriano
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.