Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

22n está em O(2ⁿ)?

  1. ANão, porque 22n cresce mais devagar que 2ⁿ
  2. BSim, porque ambos são exponenciais
  3. CNão, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
  4. DSim, porque fatores constantes no expoente são sempre ignorados no O grande
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(log n), por causa da busca binária
  2. BO(n²), porque cada elemento se move n vezes
  3. CO(1), porque o índice é conhecido
  4. DO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. AManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  2. BGuardar front e rear na mesma variável
  3. CFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
  4. DSempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de E a C? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(log n)

Porque é esta a resposta

O problema cai pela metade a cada passo, com trabalho constante por passo, então há cerca de log₂ n passos.

Resposta

D · O(log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite

Porque é esta a resposta

Uma constante somada ao expoente dá um fator constante, mas uma constante multiplicando o expoente muda a base e a taxa de crescimento.

Resposta

C · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

D · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 16

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 36 = 2(L + 11) − 2
L = 16

Resposta

L = 16

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Resposta

N = 1

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