Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Como o algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima?

  1. ARemove a aresta mais cara até não restarem ciclos
  2. BOrdena todas as arestas por peso e adiciona cada uma, a menos que forme um ciclo na floresta
  3. CFaz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
  4. DExecuta uma busca em largura e mantém a árvore da BFS
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que o algoritmo de Dijkstra pode dar resultados errados quando alguns pesos de aresta são negativos?

  1. AUm vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
  2. BEntra num laço infinito a cada aresta negativa
  3. CSó funciona em grafos não dirigidos
  4. DNúmeros negativos não podem ser armazenados numa fila de prioridade
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.Estruturas de dadosDifícil

Quais são os custos de tempo e de espaço extra para inverter no próprio lugar uma lista simplesmente encadeada?

  1. ATempo O(n log n) e espaço extra O(1)
  2. BTempo O(1) e espaço extra O(1)
  3. CTempo O(n) e espaço extra O(n)
  4. DTempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 16 vértices e 22 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 16|E| = 22
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
142151446146151ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Prim, com uma fila de prioridade de arestas de corte, roda em O(E log V) com um heap binário.

Resposta

C · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto

Porque é esta a resposta

O passo guloso depende de pesos não negativos para que as distâncias extraídas sejam definitivas; usa-se Bellman–Ford quando os pesos podem ser negativos.

Resposta

A · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

C · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Tempo O(n) e espaço extra O(1)

Porque é esta a resposta

Manter três ponteiros (anterior, atual, próximo) permite inverter cada ligação em uma passada, sem alocar novos nós.

Resposta

D · Tempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 7

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

16 − 1 = 15

Arestas a remover

k = 22 − 15 = 7

Resposta

k = 7
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 27

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 14
B (14): C: 16, D: 29, G: 28
C (16): E: 30, G: 22
G (22): E: 23
E (23): D: 27
D (27): F: 33
F (33)

Caminho mais curto

A → B → C → G → E → D
d(D) = 27

Resposta

d(D) = 27

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