Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que o algoritmo de Floyd–Warshall calcula, e com que rapidez?

  1. ACaminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
  2. BCaminhos mínimos de um vértice de origem para todos os outros em O(V + E)
  3. CUma ordenação topológica em O(V²)
  4. DUma árvore geradora mínima em O(E log V)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a diferença entre um problema indecidível e um intratável?

  1. ANenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
  2. BProblemas indecidíveis estão em NP, enquanto os intratáveis estão em P
  3. CAmbos significam que o problema não tem nenhum algoritmo
  4. DProblemas intratáveis não podem ser resolvidos por nenhum algoritmo, enquanto os indecidíveis só exigem tempo exponencial
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. AOrdem crescente
  2. BOrdem de inserção
  3. COrdem por nível
  4. DSempre ordem decrescente
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade mantém toda árvore B perfeitamente balanceada?

  1. AAs chaves ficam armazenadas apenas na raiz
  2. BTodo nó tem exatamente dois filhos
  3. CCada nó armazena uma chave
  4. DTodas as folhas estão na mesma profundidade
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 3 vão de D a A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)

Porque é esta a resposta

Floyd–Warshall é um algoritmo de programação dinâmica que permite cada vértice, um de cada vez, como ponto intermediário, usando tempo O(V³).

Resposta

A · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais

Porque é esta a resposta

O problema da parada não tem nenhum algoritmo; um problema NP-difícil como o TSP pode ser resolvido por força bruta, só que não em tempo polinomial conhecido.

Resposta

A · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

A · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Todas as folhas estão na mesma profundidade

Porque é esta a resposta

Os nós se dividem para cima quando estão cheios e a árvore só fica mais alta quando a raiz se divide, então todas as folhas ficam sempre no mesmo nível.

Resposta

D · Todas as folhas estão na mesma profundidade
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices ímpares

A, C → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 3

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Mais um passo

(M³)DA = 1·0 + 1·1 + 2·1 + 2·0 + 1·0 = 3

Resposta

N = 3

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