Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que significa um problema ter subestrutura ótima?

  1. AUma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
  2. BTodos os subproblemas têm o mesmo tamanho
  3. CO problema tem exatamente uma solução ótima, compartilhada por todos os subproblemas
  4. DO problema pode ser resolvido em tempo constante
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

  1. ASim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
  2. BNão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
  3. CSim, portanto o limite inferior está errado
  4. DNão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva a busca de uma palavra de comprimento L em uma trie com alfabeto fixo?

  1. AO(log n), em que n é o número de palavras
  2. BO(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
  3. CO(L × n)
  4. DO(n), em que n é o número de palavras
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. APré-ordem e em ordem
  2. BSó a pré-ordem
  3. CSó o percurso por níveis
  4. DPré-ordem e pós-ordem
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 19 vértices e 19 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 19|E| = 19
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de C a A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas

Porque é esta a resposta

A subestrutura ótima é necessária tanto para os algoritmos gulosos quanto para a programação dinâmica produzirem respostas corretas.

Resposta

A · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

B · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas

Porque é esta a resposta

Cada caractere escolhe um filho, então uma busca leva L passos, não importa quantas palavras a trie contenha.

Resposta

B · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

A · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 1

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

19 − 1 = 18

Arestas a remover

k = 19 − 18 = 1

Resposta

k = 1
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Vizinhos comuns

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

Resposta

N = 1

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