Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  2. BO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
  3. CO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
  4. DO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a diferença entre um problema indecidível e um intratável?

  1. AProblemas indecidíveis estão em NP, enquanto os intratáveis estão em P
  2. BProblemas intratáveis não podem ser resolvidos por nenhum algoritmo, enquanto os indecidíveis só exigem tempo exponencial
  3. CAmbos significam que o problema não tem nenhum algoritmo
  4. DNenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. AQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
  2. BBusca em tempo constante em todos os casos
  3. CQue nenhum nó tenha dois filhos
  4. DAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de segmentos (segment tree) é normalmente usada para:

  1. AResponder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
  2. BImplementar uma pilha
  3. CArmazenar as arestas de um grafo
  4. DOrdenar strings alfabeticamente guardando cada prefixo em um nó separado da árvore
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 3 vão de B a D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

D · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais

Porque é esta a resposta

O problema da parada não tem nenhum algoritmo; um problema NP-difícil como o TSP pode ser resolvido por força bruta, só que não em tempo polinomial conhecido.

Resposta

D · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

D · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore de segmentos armazena agregados de intervalos, permitindo consultas por intervalo e atualizações pontuais em tempo O(log n).

Resposta

A · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

A, B → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Mais um passo

(M³)BD = 0·0 + 3·1 + 2·0 + 1·0 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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