Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(n) tem como solução:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o tempo de execução do algoritmo de Dijkstra com um heap binário num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V³)
3.Estruturas de dadosMédia

Em um min-heap binário armazenado em um array (índices começando em 0), os filhos do nó no índice i estão em:

  1. Ai + 1 e i + 2
  2. B2i + 1 e 2i + 2
  3. Ci/2 e i/2 + 1
  4. D2i e 2i + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Na BST com raiz 50, subárvore esquerda 30 (filhos 20, 40) e subárvore direita 70 (filhos 60, 80), a raiz é removida usando o sucessor em ordem. Qual chave se torna a nova raiz?

  1. A70
  2. B40
  3. C60
  4. D80
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
11139413111314663ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n log n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Resposta

C · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O((V + E) log V)

Porque é esta a resposta

Há V operações extract-min e até E operações decrease-key, cada uma O(log V); um heap de Fibonacci melhora isso para O(E + V log V).

Resposta

C · O((V + E) log V)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 2i + 1 e 2i + 2

Porque é esta a resposta

Em arrays indexados a partir de 0, o filho esquerdo fica em 2i + 1, o filho direito em 2i + 2 e o pai em ⌊(i − 1)/2⌋.

Resposta

B · 2i + 1 e 2i + 2
4.Estruturas de dados

Resposta: C · 60

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda da subárvore direita é 60, então 60 substitui 50 e sua posição antiga é removida; usar o predecessor daria 40.

Resposta

C · 60
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Resposta

L = 10

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 11, C: 13
2. B (11): G: 25
3. C (13): E: 17, G: 19
4. E (17): D: 30, F: 30
5. G (19): D: 25
6. D (25)
7. F (30)

rodada 4

E

Resposta

E

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