Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais são os custos de tempo e espaço de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com um laço que guarda só os dois últimos valores?

  1. ATempo O(n) e espaço O(1)
  2. BTempo O(n) e espaço O(n)
  3. CTempo O(log n) e espaço O(n)
  4. DTempo O(2ⁿ) e espaço O(1)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B11
  3. C10
  4. D24
4.Estruturas de dadosDifícil

As chaves 5, 3, 8, 1 são inseridas nessa ordem em um min-heap binário vazio baseado em array. Qual é o array final?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(2ⁿ)

Porque é esta a resposta

O número de chamadas dobra a cada nível e há n níveis, então o total é cerca de 2ⁿ, como na Torre de Hanói.

Resposta

D · O(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Tempo O(n) e espaço O(1)

Porque é esta a resposta

Cada passo precisa só dos dois valores anteriores, então a tabela do método bottom-up pode ser substituída por duas variáveis.

Resposta

A · Tempo O(n) e espaço O(1)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

A · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: D · [1, 3, 8, 5]

Porque é esta a resposta

Depois de 5, 3, 8, o array é [3, 5, 8]; 1 vai para o índice 3, troca com o pai 5 e depois com 3, o que dá [1, 3, 8, 5].

Resposta

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 3

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Resposta

N = 3

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