Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
  2. BEscolher a atividade que começa mais cedo
  3. CEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
  4. DEscolher primeiro a atividade mais curta
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da parada mostra que:

  1. ANenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
  2. BLaços devem ser evitados
  3. CAlguns programas rodam mais rápido em computadores mais rápidos, então a parada depende do hardware
  4. DTodo programa acaba parando
3.Estruturas de dadosMédia

Como se encontra a menor chave em uma árvore binária de busca?

  1. ASeguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
  2. BOlhando apenas a raiz
  3. CVisitando todas as folhas e comparando-as
  4. DSeguindo os filhos direitos a partir da raiz até não haver filho direito
4.Estruturas de dadosDifícil

A estrutura union-find (conjuntos disjuntos) com união por posto e compressão de caminho tem custo amortizado por operação de:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
  4. DExatamente O(log n)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1351931386ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para

Porque é esta a resposta

Turing mostrou que o problema da parada é indecidível: supor que existe um decisor leva a uma contradição com um programa que faz o oposto.

Resposta

A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda não tem chave menor na árvore, então é o mínimo; o custo é proporcional à altura.

Resposta

A · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante

Porque é esta a resposta

Com as duas otimizações, as operações levam tempo amortizado O(α(n)); α(n) ≤ 4 para qualquer n realista.

Resposta

C · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, B, E, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 13, C: 5
2. C (5): B: 6, E: 8
3. B (6): D: 15
4. E (8): F: 14
5. F (14)
6. D (15)

rodada 4

E

Resposta

E

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