Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um quicksort usa sempre o primeiro elemento como pivô. Com qual entrada ele apresenta o comportamento de pior caso?

  1. AUm array em ordem aleatória
  2. BUm array que já está ordenado
  3. CUm array de tamanho 2
  4. DUm array com todos os elementos diferentes
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. ASatisfatibilidade de circuitos
  2. B2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
  3. C3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  4. DSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
3.Estruturas de dadosMédia

Uma aplicação precisa de buscas rápidas e também de listar as chaves em ordem e responder a consultas por intervalo. Qual estrutura é a mais adequada?

  1. AUma tabela hash
  2. BUma árvore binária de busca balanceada
  3. CUma pilha
  4. DUma lista encadeada não ordenada
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
3613184516ABCDE

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2; as arestas descartadas não contam.

k = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Um array que já está ordenado

Porque é esta a resposta

Com entrada ordenada, o pivô é sempre o mínimo, então um lado fica vazio e o outro tem n − 1 elementos, o que dá O(n²).

Resposta

B · Um array que já está ordenado
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma árvore binária de busca balanceada

Porque é esta a resposta

Uma BST balanceada dá buscas em O(log n) e mantém as chaves ordenadas, então o percurso em ordem e as consultas por intervalo são fáceis; uma tabela hash espalha as chaves.

Resposta

B · Uma árvore binária de busca balanceada
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vértices ímpares

B, D, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. AB (3)
2. CE (4)
3. DE (5)
4. AC (6)

número da aresta 2

CE

Resposta

aresta CE

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