Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que muitas rotinas de ordenação de bibliotecas passam para o insertion sort em subarrays muito pequenos?

  1. AO insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
  2. BAlgoritmos recursivos não conseguem lidar com arrays de menos de 10 elementos
  3. CO insertion sort usa menos memória que qualquer outro algoritmo de ordenação em entradas grandes
  4. DO insertion sort é O(n log n) no pior caso
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. An = o(n²), mas n não é o(n)
  2. Bn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), porque 2n cresce devagar
3.Estruturas de dadosMédia

Uma aplicação precisa de buscas rápidas e também de listar as chaves em ordem e responder a consultas por intervalo. Qual estrutura é a mais adequada?

  1. AUma pilha
  2. BUma tabela hash
  3. CUma lista encadeada não ordenada
  4. DUma árvore binária de busca balanceada
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 14 vértices e 24 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 14|E| = 24
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios de comprimento 2 vão de E a F? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas

Porque é esta a resposta

Para n pequeno, o laço simples do insertion sort supera o overhead de recursão do quicksort ou do merge sort, embora seja O(n²).

Resposta

A · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

A · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma árvore binária de busca balanceada

Porque é esta a resposta

Uma BST balanceada dá buscas em O(log n) e mantém as chaves ordenadas, então o percurso em ordem e as consultas por intervalo são fáceis; uma tabela hash espalha as chaves.

Resposta

D · Uma árvore binária de busca balanceada
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

D · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

14 − 1 = 13

Arestas a remover

k = 24 − 13 = 11

Resposta

k = 11
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EF = 0·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Resposta

N = 1

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