Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do algoritmo padrão de programação dinâmica para a maior subsequência comum de strings de comprimentos m e n?

  1. AO(mn)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe NP está correta?

  1. AProblemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
  2. BProblemas que não são polinomiais
  3. CProblemas que nenhum algoritmo consegue resolver
  4. DProblemas que não podem ser resolvidos em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados um programa em execução usa para controlar as chamadas de função ativas e suas variáveis locais?

  1. AA pilha de chamadas
  2. BUma árvore binária de busca de frames
  3. CUma tabela hash de funções
  4. DA fila da memória heap
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
  2. BOrdenar as arestas por peso
  3. CEscolher o vértice inicial
  4. DVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(mn)

Porque é esta a resposta

A tabela tem (m + 1)(n + 1) células, e cada uma é calculada em O(1) a partir das vizinhas.

Resposta

A · O(mn)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado

Porque é esta a resposta

Num problema NP, uma solução proposta (certificado) pode ser verificada rapidamente, por exemplo, verificar se uma atribuição dada satisfaz uma fórmula booleana.

Resposta

A · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
3.Estruturas de dados

Resposta: A · A pilha de chamadas

Porque é esta a resposta

Cada chamada empilha um frame e cada retorno o desempilha, e é por isso que a chamada mais recente termina primeiro.

Resposta

A · A pilha de chamadas
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 14

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Resposta

L = 14

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)DD = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 1

Resposta

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms