Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 8y′ + 15y = 0 com y(0) = 1 e y′(0) = 2. Encontre y(1,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

y(1.5) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Resolva o problema de valor inicial y′ + 2y/x = 4x para x > 0, com y(1) = 2. Encontre y(3).

y′ + 2y/x = 4xy(1) = 2

y(3) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = x² e y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = ln(2x² + 5). Calcule f′(3).

f(x) = ln(2x² + 5)x = 3

f′(3) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = −x² + 4x em x = 1 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = −x² + 4xx = 1

b =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀³ √x·e^−x dx com a regra de Simpson usando n = 4 faixas. Dê S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 4

S =

8.Métodos numéricosDifícil

Use o método de Euler com h = 0,1 para y′ = y − t², y(0) = −1 para estimar y₄ ≈ y(0,4).

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,1

y₄ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 0,0375

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 1, −3A − 5B = 2

A = 3,5, B = −2,5

Calcular

y(1,5) = 3,5·e^−4,5 + (−2,5)·e^−7,5 = 0,0375

Resposta

y(1,5) = 0,0375

2.Equações diferenciais

Resposta: y(3) = 9,111

Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·e^kt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.

Fator integrante

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integrar

(x²y)′ = 4x³ → x²y = 4x⁴/4 + C

Condição inicial

2 = 4/4 + C → C = 1

Calcular

y(3) = (4·3⁴/4 + 1)/3² = 9,111

Resposta

y(3) = 9,111

3.Integrais

Resposta: I = 0,6321

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^−x/(−1)

Avaliar nos limites

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

Resposta

I = 0,6321

4.Integrais

Resposta: A = 1,333

Pontos de interseção

x² = 2x → x = 0, x = 2

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Resposta

A = 1,333

5.Derivadas

Resposta: f′(3) = 0,5217

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia para o logaritmo

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Substituir

f′(3) = 12/23 = 0,5217

Resposta

f′(3) = 0,5217

6.Derivadas

Resposta: b = 1

Ponto e declive

f(1) = 3

f′(x) = −2x + 4 → f′(1) = 2

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − 2·1 = 1

Resposta

b = 1

7.Métodos numéricos

Resposta: S = 0,7254

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Nós e valores

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,409081 + 2·0,273278 + 4·0,158099 + 0,0862337 = 2,90151

Regra de Simpson

S = (0,75/3)·2,90151 = 0,7254

Resposta

S = 0,7254

Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₄ = −1,479

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Euler

y₁ = −1 + 0,1·(−1) = −1,1

y₂ = −1,1 + 0,1·(−1,11) = −1,211

y₃ = −1,211 + 0,1·(−1,251) = −1,3361

y₄ = −1,3361 + 0,1·(−1,4261) = −1,47871

Gráfico

y₄ = −1,479

Resposta

y₄ = −1,479

O valor exato é y(0,4) = −1,515474.

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