Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 2y′ + y = 0 com y(0) = 5 e y′(0) = 1. Encontre y(2).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(2) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Um sistema obedece a y″ + 4y′ + 13y = 13 para t ≥ 0, partindo do repouso: y(0) = 0, y′(0) = 0. Encontre y(0,5); ângulos em radianos.

y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = 2x² e y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(3x), com x em radianos. Calcule f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = −x² + 3x em x = −1 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = −x² + 3xx = −1

b =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀^1,5 sin(x²) dx com a regra do trapézio usando n = 6 faixas. Dê T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

T =

8.Métodos numéricosDifícil

Use o método de Heun (Euler melhorado) com h = 0,2 para y′ = cos t − y, y(0) = −1 para estimar y₂ ≈ y(0,4).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2

y₂ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(2) = 2,301

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raiz dupla

(r + 1)² = 0 → r = −1

Constantes

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 1A → B = 1 + 5 = 6

Calcular

y(2) = (5 + 6·2)·e⁻² = 2,301

Resposta

y(2) = 2,301

2.Equações diferenciais

Resposta: y(0.5) = 0,7293

Valor estacionário e raízes

y_ss = 1, r = −2 ± 3j

Constantes a partir dos valores iniciais

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −0,6667

Calcular

y(0,5) = 1·(1 − e⁻¹(cos 1,5 + 0,6667·sin 1,5)) = 0,7293

Resposta

y(0,5) = 0,7293

3.Integrais

Resposta: I = 6,389

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^x/1

Avaliar nos limites

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Resposta

I = 6,389

4.Integrais

Resposta: A = 1,125

Pontos de interseção

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Integrar superior menos inferior

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Resposta

A = 1,125

5.Derivadas

Resposta: f′(1) = −2,829

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substituir

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Resposta

f′(1) = −2,829

6.Derivadas

Resposta: b = 1

Ponto e declive

f(−1) = −4

f′(x) = −2x + 3 → f′(−1) = 5

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − 5·(−1) = 1

Resposta

b = 1

7.Métodos numéricos

Resposta: T = 0,7684

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Nós e valores

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,0624593 + 2·0,247404 + 2·0,533303 + 2·0,841471 + 2·0,999966 + 0,778073 = 6,147278

Regra do trapézio

T = (0,25/2)·6,147278 = 0,7684

Resposta

T = 0,7684

Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₂ = −0,3559

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Heun

y₁ = −1 + (0,2/2)(2 + 1,580067) = −0,641993

y₂ = −0,641993 + (0,2/2)(1,62206 + 1,238642) = −0,355923

Gráfico

y₂ = −0,3559

Resposta

y₂ = −0,3559

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