Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Uma lata de refrigerante a 4 °C é tirada da geladeira e levada para uma sala a 30 °C. Após 17 min sua temperatura é 23 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.

T₀ = 4 °CT_a = 30 °CT(17) = 23 °C

k = min⁻¹

2.Equações diferenciaisDifícil

Um sistema obedece a y″ + y′ + 4,25y = 8,5 para t ≥ 0, partindo do repouso: y(0) = 0, y′(0) = 0. Encontre y(1,5); ângulos em radianos.

y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = x² e y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = (3x + 1)⁵. Calcule f′(2).

f(x) = (3x + 1)⁵x = 2

f′(2) =

6.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ − 9x² + 24x − 3. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ − 9x² + 24x − 3

x =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀² sin(x²) dx com a regra do trapézio usando n = 2 faixas. Dê T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2

T =

8.Métodos numéricosDifícil

Use o método de Euler com h = 0,25 para y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 para estimar y₅ ≈ y(1,25).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25

y₅ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: k = 0,07719 min⁻¹

Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·e^kt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.

Razão das diferenças de temperatura

e^−17k = -7/-26

Resolver para k

k = ln(-26/-7)/17 = 0,07719 min⁻¹

Resposta

k = 0,07719 min⁻¹

2.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 2,902

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Valor estacionário e raízes

y_ss = 2, r = −0,5 ± 2j

Constantes a partir dos valores iniciais

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0,5A + 2B = 0 → B = −0,5

Calcular

y(1,5) = 2·(1 − e^−0,75(cos 3 + 0,25·sin 3)) = 2,902

Resposta

y(1,5) = 2,902

3.Integrais

Resposta: I = 2,333

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Substituição

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integrar e avaliar

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Resposta

I = 2,333

4.Integrais

Resposta: A = 10,67

Pontos de interseção

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Resposta

A = 10,67

5.Derivadas

Resposta: f′(2) = 36015

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

Substituir

f′(2) = 5·7⁴·3 = 36015

Resposta

f′(2) = 36015

6.Derivadas

Resposta: x = 4

Derivada

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Resolver f′(x) = 0

x = 2 ou x = 4

Qual é qual

f″(x) = 6x − 18: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

Resposta

x = 4

7.Métodos numéricos

Resposta: T = 0,4631

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Nós e valores

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,841471 − 0,756802 = 0,926139

Regra do trapézio

T = (1/2)·0,926139 = 0,4631

Resposta

T = 0,4631

Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₅ = 1,614

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Euler

y₁ = 0,5 + 0,25·(0,75) = 0,6875

y₂ = 0,6875 + 0,25·(0,902344) = 0,913086

y₃ = 0,913086 + 0,25·(0,992446) = 1,161197

y₄ = 1,161197 + 0,25·(0,974015) = 1,404701

y₅ = 1,404701 + 0,25·(0,836217) = 1,613755

Gráfico

y₅ = 1,614

Resposta

y₅ = 1,614

O valor exato é y(1,25) = 1,604808.

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