Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 5y′ + 6y = 0 com y(0) = 5 e y′(0) = -4. Encontre y(2).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 5y′(0) = -4

y(2) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Resolva y″ + 3y′ + 6,25y = 0 com y(0) = 1 e y′(0) = 0 (solto a partir do repouso). Encontre y(0,25); ângulos em radianos.

y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = x² e y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·e^0,5x. Calcule f′(1,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = −x² − x + 4 em x = −2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = −x² − x + 4x = −2

b =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx com a regra do trapézio usando n = 2 faixas. Dê T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 2

T =

8.Métodos numéricosDifícil

Use o método de Heun (Euler melhorado) com h = 0,5 para y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 para estimar y₃ ≈ y(1,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5

y₃ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(2) = 0,1866

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 5, −2A − 3B = -4

A = 11, B = −6

Calcular

y(2) = 11·e⁻⁴ + (−6)·e⁻⁶ = 0,1866

Resposta

y(2) = 0,1866

2.Equações diferenciais

Resposta: y(0.25) = 0,8503

Raízes complexas

r = −1,5 ± 2j

Constantes

A = 1, B = 1,5·1/2 = 0,75

Calcular

y(0,25) = e^−0,375(1·cos 0,5 + 0,75·sin 0,5) = 0,8503

Resposta

y(0,25) = 0,8503

3.Integrais

Resposta: I = 41,33

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Substituição

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integrar e avaliar

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Resposta

I = 41,33

4.Integrais

Resposta: A = 10,67

Pontos de interseção

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Resposta

A = 10,67

5.Derivadas

Resposta: f′(1.5) = 3,705

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Substituir

f′(1,5) = 2,117·(1 + 0,75) = 3,705

Resposta

f′(1,5) = 3,705

6.Derivadas

Resposta: b = 8

Ponto e declive

f(−2) = 2

f′(x) = −2x − 1 → f′(−2) = 3

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − 3·(−2) = 8

Resposta

b = 8

7.Métodos numéricos

Resposta: T = 0,9118

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Nós e valores

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,970143 + 0,707107 = 3,647392

Regra do trapézio

T = (0,5/2)·3,647392 = 0,9118

Resposta

T = 0,9118

Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₃ = 2,479

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Heun

y₁ = 0,5 + (0,5/2)(1 + 1,479426) = 1,119856

y₂ = 1,119856 + (0,5/2)(1,531125 + 1,950913) = 1,990366

y₃ = 1,990366 + (0,5/2)(1,913264 + 0,0422988) = 2,479257

Gráfico

y₃ = 2,479

Resposta

y₃ = 2,479

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations