Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 5y′ + 4y = 0 com y(0) = 5 e y′(0) = -2. Encontre y(2).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(2) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Resolva y″ + 3y′ + 18,25y = 0 com y(0) = 10 e y′(0) = 0 (solto a partir do repouso). Encontre y(0,25); ângulos em radianos.

y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 9 − x² e o eixo x.

y = 9 − x²

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = (4x + 1)⁵. Calcule f′(0).

f(x) = (4x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = x² − 1 em x = 1 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = x² − 1x = 1

b =

7.Métodos numéricosMédia

A regra do trapézio é usada para ∫₁² 1/x dx. O erro é no máximo (b − a)³·M/(12n²) com M = max|f″| em [1, 2]. Encontre o menor número de faixas n que garante um erro abaixo de 0,0005.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0005

n =

8.Métodos numéricosDifícil

Dê um passo do método clássico de Runge–Kutta (RK4) com h = 0,2 para y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Encontre y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,2

y₁ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(2) = 0,8117

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 5, −1A − 4B = -2

A = 6, B = −1

Calcular

y(2) = 6·e⁻² + (−1)·e⁻⁸ = 0,8117

Resposta

y(2) = 0,8117

2.Equações diferenciais

Resposta: y(0.25) = 5,882

Raízes complexas

r = −1,5 ± 4j

Constantes

A = 10, B = 1,5·10/4 = 3,75

Calcular

y(0,25) = e^−0,375(10·cos 1 + 3,75·sin 1) = 5,882

Resposta

y(0,25) = 5,882

3.Integrais

Resposta: I = 41,33

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Substituição

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integrar e avaliar

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Resposta

I = 41,33

4.Integrais

Resposta: A = 36

Zeros

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrar

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Resposta

A = 36

5.Derivadas

Resposta: f′(0) = 20

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia

f′(x) = 5·(4x + 1)⁴·4

Substituir

f′(0) = 5·1⁴·4 = 20

Resposta

f′(0) = 20

6.Derivadas

Resposta: b = −2

Ponto e declive

f(1) = 0

f′(x) = 2x → f′(1) = 2

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 2·1 = −2

Resposta

b = −2

7.Métodos numéricos

Resposta: n = 19

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Cota da segunda derivada

M = 2/1³ = 2

Resolver em ordem a n

n² > 1·2/(12·0,0005) = 333,3

n > 18,26 → n = 19

Resposta

n = 19

8.Métodos numéricos

Resposta: y₁ = 0,2027

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Quatro inclinações

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,1, 0,1) = 1,01

k₃ = f(0,1, 0,101) = 1,0101

k₄ = f(0,2, 0,20202) = 1,040393

Combine

y₁ = 0 + (0,2/6)(1 + 2·1,01 + 2·1,0101 + 1,040393) = 0,2027

Resposta

y₁ = 0,2027

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