Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 4y′ + 3y = 0 com y(0) = 4 e y′(0) = 1. Encontre y(1).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 4y′(0) = 1

y(1) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Um sistema obedece a y″ + 4y′ + 8y = 80 para t ≥ 0, partindo do repouso: y(0) = 0, y′(0) = 0. Encontre y(1,5); ângulos em radianos.

y″ + 4y′ + 8y = 80y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₁⁵ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(x), com x em radianos. Calcule f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = x² + 2x − 2 em x = 3 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = x² + 2x − 2x = 3

b =

7.Métodos numéricosMédia

A velocidade de um veículo é medida a cada 2 s (tabela). Estime a distância s percorrida de t = 0 a t = 12 s com a regra de Simpson.

h = 2 sn = 6

s = m

8.Métodos numéricosDifícil

Use o método de Heun (Euler melhorado) com h = 0,1 para y′ = e^−ty, y(0) = 0,5 para estimar y₃ ≈ y(0,3).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,1

y₃ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(1) = 2,267

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 4, −1A − 3B = 1

A = 6,5, B = −2,5

Calcular

y(1) = 6,5·e⁻¹ + (−2,5)·e⁻³ = 2,267

Resposta

y(1) = 2,267

2.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 10,42

Valor estacionário e raízes

y_ss = 10, r = −2 ± 2j

Constantes a partir dos valores iniciais

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −10

Calcular

y(1,5) = 10·(1 − e⁻³(cos 3 + 1·sin 3)) = 10,42

Resposta

y(1,5) = 10,42

3.Integrais

Resposta: I = 8,047

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 5·ln x

Avaliar nos limites

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8,047

Resposta

I = 8,047

4.Integrais

Resposta: A = 10,67

Zeros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Resposta

A = 10,67

5.Derivadas

Resposta: f′(1) = 1,382

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Substituir

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Resposta

f′(1) = 1,382

6.Derivadas

Resposta: b = −11

Ponto e declive

f(3) = 13

f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − 8·3 = −11

Resposta

b = −11

7.Métodos numéricos

Resposta: s = 202 m

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Soma ponderada

10 + 4·12 + 2·14 + 4·20 + 2·19 + 4·20 + 19 = 303

Regra de Simpson

s = (2/3)·303 = 202 m

Resposta

s = 202 m

8.Métodos numéricos

Resposta: y₃ = 0,7709

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Heun

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(1 + 0,941765) = 0,597088

y₂ = 0,597088 + (0,1/2)(0,942039 + 0,870874) = 0,687734

y₃ = 0,687734 + (0,1/2)(0,871494 + 0,792578) = 0,770937

Gráfico

y₃ = 0,7709

Resposta

y₃ = 0,7709

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