Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 7y′ + 12y = 0 com y(0) = 4 e y′(0) = -4. Encontre y(1,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = -4

y(1.5) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Resolva o problema de valor inicial y′ + 2y/x = 3 para x > 0, com y(1) = 3. Encontre y(3).

y′ + 2y/x = 3y(1) = 3

y(3) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = 0,5x² e y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·e^x. Calcule f′(1).

f(x) = x·e^xx = 1

f′(1) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = −x² + 5 em x = −1 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = −x² + 5x = −1

b =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀² sin(x²) dx com a regra do trapézio usando n = 2 faixas. Dê T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2

T =

8.Métodos numéricosDifícil

Dê um passo do método clássico de Runge–Kutta (RK4) com h = 0,1 para y′ = e^−ty, y(0) = 1. Encontre y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,1

y₁ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 0,1135

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 4, −3A − 4B = -4

A = 12, B = −8

Calcular

y(1,5) = 12·e^−4,5 + (−8)·e⁻⁶ = 0,1135

Resposta

y(1,5) = 0,1135

2.Equações diferenciais

Resposta: y(3) = 3,222

Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·e^kt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.

Fator integrante

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integrar

(x²y)′ = 3x² → x²y = 3x³/3 + C

Condição inicial

3 = 3/3 + C → C = 2

Calcular

y(3) = (3·3³/3 + 2)/3² = 3,222

Resposta

y(3) = 3,222

3.Integrais

Resposta: I = 0,6321

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^−x/(−1)

Avaliar nos limites

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

Resposta

I = 0,6321

4.Integrais

Resposta: A = 0,6667

Pontos de interseção

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Integrar superior menos inferior

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Resposta

A = 0,6667

5.Derivadas

Resposta: f′(1) = 5,437

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Substituir

f′(1) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Resposta

f′(1) = 5,437

6.Derivadas

Resposta: b = 6

Ponto e declive

f(−1) = 4

f′(x) = −2x → f′(−1) = 2

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 2·(−1) = 6

Resposta

b = 6

7.Métodos numéricos

Resposta: T = 0,4631

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Nós e valores

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,841471 − 0,756802 = 0,926139

Regra do trapézio

T = (1/2)·0,926139 = 0,4631

Resposta

T = 0,4631

Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₁ = 1,095

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Quatro inclinações

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,05, 1,05) = 0,948854

k₃ = f(0,05, 1,047443) = 0,948976

k₄ = f(0,1, 1,094898) = 0,896291

Combine

y₁ = 1 + (0,1/6)(1 + 2·0,948854 + 2·0,948976 + 0,896291) = 1,095

Resposta

y₁ = 1,095

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations