Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Uma lata de refrigerante a 3 °C é tirada da geladeira e levada para uma sala a 24 °C. Após 28 min sua temperatura é 20 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.

T₀ = 3 °CT_a = 24 °CT(28) = 20 °C

k = min⁻¹

2.Equações diferenciaisDifícil

Um tanque contém 500 L de água na qual estão dissolvidos 20 kg de sal. Salmoura com 0,2 kg de sal por litro entra a 2 L/min, e a solução bem misturada sai na mesma vazão. Após quantos minutos t o tanque contém 68 kg de sal?

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegraisMédia

A região sob y = 0,5x, de x = 0 até x = 1, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 1

V =

4.IntegraisDifícil

A região entre a reta y = 4x e a parábola y = 2x² gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido.

y = 4xy = 2x²

V =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = (2x + 5)⁵. Calcule f′(1).

f(x) = (2x + 5)⁵x = 1

f′(1) =

6.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = 2x² − 6 em x = −2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 2x² − 6x = −2

b =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀¹ x³ dx com a regra do trapézio, n = 2, e compare com o valor exato. Encontre o erro absoluto |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Métodos numéricosDifícil

Dê um passo do método clássico de Runge–Kutta (RK4) com h = 0,1 para y′ = cos t − y, y(0) = 3. Encontre y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1

y₁ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: k = 0,05922 min⁻¹

Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·e^kt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.

Razão das diferenças de temperatura

e^−28k = -4/-21

Resolver para k

k = ln(-21/-4)/28 = 0,05922 min⁻¹

Resposta

k = 0,05922 min⁻¹

2.Equações diferenciais

Resposta: t = 229,1 min

Resultado

m(t) = 100 + (−80)·e^−t/250

Resolver para t

e^−t/250 = (100 − 68)/(100 − 20) = 0,4

t = 250·ln(2,5) = 229,1 min

Resposta

t = 229,1 min

3.Integrais

Resposta: V = 0,2618

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀¹ 0,25x² dx

Integrar

V = π·0,25·1³/3 = 0,2618

Resposta

V = 0,2618

Verificação: um cone de raio 0,5 e altura 1 tem (1/3)πr²h = 0,2618.

4.Integrais

Resposta: V = 53,62

Pontos de interseção

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Método das arruelas

V = π∫₀² ((4x)² − (2x²)²) dx

Integrar

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Resposta

V = 53,62

5.Derivadas

Resposta: f′(1) = 24010

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia

f′(x) = 5·(2x + 5)⁴·2

Substituir

f′(1) = 5·7⁴·2 = 24010

Resposta

f′(1) = 24010

6.Derivadas

Resposta: b = −14

Ponto e declive

f(−2) = 2

f′(x) = 4x → f′(−2) = −8

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−8)·(−2) = −14

Resposta

b = −14

7.Métodos numéricos

Resposta: |E| = 0,0625

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Valor exato

I = 0,25

Regra do trapézio

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Erro

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Resposta

|E| = 0,0625

Erro relativo: 25%.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₁ = 2,81

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Quatro inclinações

k₁ = f(0, 3) = −2

k₂ = f(0,05, 2,9) = −1,90125

k₃ = f(0,05, 2,904938) = −1,906187

k₄ = f(0,1, 2,809381) = −1,814377

Combine

y₁ = 3 + (0,1/6)(−2 + 2·−1,90125 + 2·−1,906187 − 1,814377) = 2,81

Resposta

y₁ = 2,81

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