Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 8y′ + 15y = 0 com y(0) = 4 e y′(0) = 2. Encontre y(1,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 4y′(0) = 2

y(1.5) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Um sistema obedece a y″ + 2y′ + 26y = 52 para t ≥ 0, partindo do repouso: y(0) = 0, y′(0) = 0. Encontre y(1,5); ângulos em radianos.

y″ + 2y′ + 26y = 52y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = x² e y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(3x), com x em radianos. Calcule f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 6. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 6

x =

7.Métodos numéricosMédia

A regra do trapézio é usada para ∫₀² x³ dx. O erro é no máximo (b − a)³·M/(12n²) com M = max|f″| em [0, 2]. Encontre o menor número de faixas n que garante um erro abaixo de 0,001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001

n =

8.Métodos numéricosDifícil

Resolva y′ = −2ty, y(0) = 1 com o método de Euler e passo h = 0,1 até t = 0,4. A solução exata é y = y₀e^−t². Encontre o erro global |E| = |y(0,4) − y₄|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,1

|E| =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 0,1183

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 4, −3A − 5B = 2

A = 11, B = −7

Calcular

y(1,5) = 11·e^−4,5 + (−7)·e^−7,5 = 0,1183

Resposta

y(1,5) = 0,1183

2.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 1,762

Valor estacionário e raízes

y_ss = 2, r = −1 ± 5j

Constantes a partir dos valores iniciais

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −0,4

Calcular

y(1,5) = 2·(1 − e^−1,5(cos 7,5 + 0,2·sin 7,5)) = 1,762

Resposta

y(1,5) = 1,762

3.Integrais

Resposta: I = 3,75

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Substituição

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Integrar e avaliar

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Resposta

I = 3,75

4.Integrais

Resposta: A = 10,67

Pontos de interseção

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Resposta

A = 10,67

5.Derivadas

Resposta: f′(0.5) = 1,104

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substituir

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Resposta

f′(0,5) = 1,104

6.Derivadas

Resposta: x = −2

Derivada

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

Resolver f′(x) = 0

x = −3 ou x = −2

Qual é qual

f″(x) = 6x + 15: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

Resposta

x = −2

7.Métodos numéricos

Resposta: n = 90

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Cota da segunda derivada

M = 6·2 = 12

Resolver em ordem a n

n² > 8·12/(12·0,001) = 8000

n > 89,44 → n = 90

Resposta

n = 90

8.Métodos numéricos

Resposta: |E| = 0,03221

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Euler

y₄ = 0,884352

Valor exato

y(0,4) = 0,852144

Erro global

|E| = |0,852144 − 0,884352| = 0,03221

Gráfico

Resposta

|E| = 0,03221

Reduzir h à metade reduz aproximadamente à metade o erro do método de Euler.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations