Eletrônica Digital: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Sistemas de numeração

Pesos das posições: binário 2^k, octal 8^k, hexadecimal 16^k
Para decimal: Σ d_k·b^k
A partir de decimal: divida pela base e leia os restos de baixo para cima
Hexadecimal ↔ binário: um dígito hexadecimal = 4 bits
Complemento para dois: inverta os bits e some 1

Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Portas básicas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regras booleanas: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordem do mapa de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupo de 2ᵏ células: perde k variáveis
Multiplexador 4-para-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contadores: n bits: 2ⁿ estados; mod-N: menor n com 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Contador assíncrono (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Contadores em anel e Johnson: n e 2n estados

Método

Para um circuito, trabalhe das entradas até a saída, uma porta de cada vez, e escreva o valor em cada fio, ou escreva a sua expressão e preencha a tabela-verdade.
Para simplificar, coloque os 1s (e as condições irrelevantes como X) num mapa de Karnaugh com linhas e colunas em código Gray: 00, 01, 11, 10.
Cubra os 1s com o menor número possível de grupos, os maiores possíveis, de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, dando a volta pelas bordas; cada grupo é um termo produto formado pelas variáveis que permanecem constantes. Agrupe os 0s para a forma POS.
Para flip-flops e contadores, leia as entradas em cada borda ativa do clock, escreva o estado após cada borda e lembre-se de que um contador de n bits dá a volta após 2ⁿ estados.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

2Exercícios

1.Sistemas de numeraçãoMédia

Defina os bits para armazenar −29 em complemento de dois de 8 bits. Lido como um número sem sinal, qual é o valor U do padrão?

N = −298 bit

U =

2.Sistemas de numeraçãoDifícil

Defina os bits com o resultado de 8 bits de 0111 1110 XOR 0110 1011. Qual é o valor R do resultado em decimal?

0111 1110XOR0110 1011

R =

3.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flopsMédia

Use o mapa de Karnaugh para encontrar a forma mínima em produto de somas (POS) de F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13). Quantos termos soma (fatores) N ela tem?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13)

N =

4.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flopsDifícil

Encontre a forma SOP mínima de F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 11, 13, 15) + d(2, 7, 9), em que d marca as condições irrelevantes (don’t-care). Quantos termos produto N ela tem?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 11, 13, 15) + d(2, 7, 9)

N =

5.Aquisição de dados e amostragemMédia

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 8 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 8

SQNR = dB

6.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Uma onda quadrada de 1,5 kHz é amostrada a 10 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência f_a o harmônico 7f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em kHz.

f₁ = 1,5 kHzf_s = 10 kHzharmônico: 7f₁

f_a = kHz

3Soluções

1.Sistemas de numeração

Resposta: U = 227

Definir bits: cada bit vale uma potência de dois (128, 64, …, 1). Um dígito hexadecimal são exatamente quatro bits, e em complemento de dois de 8 bits o bit mais à esquerda vale −128. As operações bit a bit atuam em cada posição de bit separadamente.

Inverter e somar um

29 = 0001 1101

invertido: 1110 0010

+1 → 1110 0011

Ler sem sinal

1110 0011₂ = 256 − 29 = 227

Resposta

U = 227

2.Sistemas de numeração

Resposta: R = 21

Bit a bit

XOR dá 1 onde os dois bits são diferentes.

0111 1110

XOR 0110 1011

= 0001 0101

Valor do resultado

0001 0101₂ = 21

Resposta

R = 21

3.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Resposta: N = 5

Mapas de Karnaugh: as células são ordenadas em código Gray (00, 01, 11, 10), de modo que células vizinhas, inclusive as que ficam nas bordas opostas, diferem em exatamente uma variável. Agrupe os 1s em retângulos de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, o maior possível e o menor número possível, até que todo 1 esteja coberto. Cada grupo é um termo produto: as variáveis que permanecem constantes dentro dele. Um grupo de 2ᵏ células perde k variáveis. As condições irrelevantes (X) podem ser usadas para aumentar grupos, mas nunca precisam ser cobertas. Agrupar os 0s dá a forma POS mínima.

Agrupe os 0s

Todo grupo é um retângulo de 2ᵏ células; as células das bordas são vizinhas das células da borda oposta.

(B + C′ + D′)

(A + B + D′)

(A + B + C′)

(A′ + B′ + C′)

(A′ + B + C + D)

Forma POS mínima

F = (B + C′ + D′)(A + B + D′)(A + B + C′)(A′ + B′ + C′)(A′ + B + C + D)

N = 5

Resposta

N = 5

Existe outro agrupamento do mesmo tamanho; ele tem o mesmo número de termos e de literais.

4.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Resposta: N = 2

Implicantes primos

Os maiores grupos que podem ser formados com 1s e Xs.

CD, AD, A′C

Cobertura mínima

F = AD + A′C

N = 2

Resposta

N = 2

5.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 49,92 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·8 + 1,76 = 49,92 dB

Resposta

SQNR = 49,92 dB

6.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: f_a = 0,5 kHz

Amostragem: um ADC mede o sinal f_s vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < f_s/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em f_a = |f − k·f_s|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e f_s/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de f_s/2 antes do ADC.

Frequência do harmônico

7f₁ = 7·1,5 kHz = 10,5 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

m = round(1,05) = 1

Frequência de aliasing

f_a = |10,5 − 1·10| = 0,5 kHz

Resposta

f_a = 0,5 kHz

O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.

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