Eletrônica Digital: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Sistemas de numeração

Pesos das posições: binário 2^k, octal 8^k, hexadecimal 16^k
Para decimal: Σ d_k·b^k
A partir de decimal: divida pela base e leia os restos de baixo para cima
Hexadecimal ↔ binário: um dígito hexadecimal = 4 bits
Complemento para dois: inverta os bits e some 1

Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Portas básicas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regras booleanas: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordem do mapa de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupo de 2ᵏ células: perde k variáveis
Multiplexador 4-para-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contadores: n bits: 2ⁿ estados; mod-N: menor n com 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Contador assíncrono (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Contadores em anel e Johnson: n e 2n estados

Método

Para um circuito, trabalhe das entradas até a saída, uma porta de cada vez, e escreva o valor em cada fio, ou escreva a sua expressão e preencha a tabela-verdade.
Para simplificar, coloque os 1s (e as condições irrelevantes como X) num mapa de Karnaugh com linhas e colunas em código Gray: 00, 01, 11, 10.
Cubra os 1s com o menor número possível de grupos, os maiores possíveis, de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, dando a volta pelas bordas; cada grupo é um termo produto formado pelas variáveis que permanecem constantes. Agrupe os 0s para a forma POS.
Para flip-flops e contadores, leia as entradas em cada borda ativa do clock, escreva o estado após cada borda e lembre-se de que um contador de n bits dá a volta após 2ⁿ estados.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

2Exercícios

1.Sistemas de numeraçãoMédia

Defina os bits para armazenar −15 em complemento de dois de 8 bits. Lido como um número sem sinal, qual é o valor U do padrão?

N = −158 bit

U =

2.Sistemas de numeraçãoDifícil

Qual é o inteiro mais negativo N que se pode guardar em complemento para dois de 10 bits?

10 bit

N =

3.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flopsMédia

Use o mapa de Karnaugh para encontrar a forma mínima em produto de somas (POS) de F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 7, 10, 15). Quantos termos soma (fatores) N ela tem?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 7, 10, 15)

N =

4.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flopsDifícil

Para F(A, B, C, D) = Σm(5, 9, 10, 12, 13) + d(0, 2, 7, 15), em que d marca as condições irrelevantes (don’t-care), encontre o número N de implicantes primos essenciais.

F(A, B, C, D) = Σm(5, 9, 10, 12, 13) + d(0, 2, 7, 15)

N =

5.Aquisição de dados e amostragemMédia

Uma onda senoidal de 4,4 kHz é amostrada a 4 kHz sem filtro antialiasing. Em que frequência f_a ela aparece nas amostras? Dê em Hz.

f = 4,4 kHzf_s = 4 kHz

f_a = Hz

6.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um multiplexador de 6 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 2,5 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 1 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem f_s de cada canal, em kHz.

n = 6t_c = 2,5 µst_set = 1 µs

f_s = kHz

3Soluções

1.Sistemas de numeração

Resposta: U = 241

Definir bits: cada bit vale uma potência de dois (128, 64, …, 1). Um dígito hexadecimal são exatamente quatro bits, e em complemento de dois de 8 bits o bit mais à esquerda vale −128. As operações bit a bit atuam em cada posição de bit separadamente.

Inverter e somar um

15 = 0000 1111

invertido: 1111 0000

+1 → 1111 0001

Ler sem sinal

1111 0001₂ = 256 − 15 = 241

Resposta

U = 241

2.Sistemas de numeração

Resposta: N = −512

Sistemas de numeração posicionais: cada algarismo vale o seu valor vezes uma potência da base. Em binário as posições valem 1, 2, 4, 8, 16, …; em hexadecimal 1, 16, 256, …, com A–F para 10–15. No complemento para dois de 8 bits, o bit da esquerda vale −128 em vez de +128; é assim que se guardam os números negativos.

Valor mais negativo

−2⁹ = −512

Resposta

N = −512

3.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Resposta: N = 4

Mapas de Karnaugh: as células são ordenadas em código Gray (00, 01, 11, 10), de modo que células vizinhas, inclusive as que ficam nas bordas opostas, diferem em exatamente uma variável. Agrupe os 1s em retângulos de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, o maior possível e o menor número possível, até que todo 1 esteja coberto. Cada grupo é um termo produto: as variáveis que permanecem constantes dentro dele. Um grupo de 2ᵏ células perde k variáveis. As condições irrelevantes (X) podem ser usadas para aumentar grupos, mas nunca precisam ser cobertas. Agrupar os 0s dá a forma POS mínima.

Agrupe os 0s

Todo grupo é um retângulo de 2ᵏ células; as células das bordas são vizinhas das células da borda oposta.

(B + D′)

(B + C)

(B′ + C′ + D)

(A′ + C)

Forma POS mínima

F = (B + D′)(B + C)(B′ + C′ + D)(A′ + C)

N = 4

Resposta

N = 4

4.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Resposta: N = 4

Implicantes primos

Os maiores grupos que podem ser formados com 1s e Xs.

BD, B′CD′, AC′D, ABC′

Implicantes primos essenciais

BD, B′CD′, AC′D, ABC′

N = 4

Resposta

N = 4

5.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: f_a = 400 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal f_s vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < f_s/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em f_a = |f − k·f_s|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e f_s/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de f_s/2 antes do ADC.

Frequência de Nyquist

f_s/2 = 2 kHz < f = 4,4 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

k = round(4400/4000) = 1

Frequência de aliasing

f_a = |4400 − 1·4000| = 400 Hz

Resposta

f_a = 400 Hz

A curva tracejada na figura é o alias: ela passa exatamente pelas mesmas amostras.

6.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: f_s = 47,62 kHz

Taxas de dados: cada canal fornece f_s amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × f_s × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × f_s × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).

Tempo por canal

2,5 + 1 = 3,5 µs

Tempo por varredura

6·3,5 = 21 µs

Taxa de amostragem por canal

f_s = 1/21 µs = 47,62 kHz

Resposta

f_s = 47,62 kHz

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