Eletrônica 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Diodos e transistores

Diodo (queda constante): V_D = 0,7 V when conducting
Região ativa: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Polarização fixa: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Polarização por divisor de tensão: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin do divisor: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Malha do coletor: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Saturação: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Conversores CC-CC

Buck: V_o = D·V_in
Boost: V_o = V_in/(1 − D)
Buck-boost inversor: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal: V_inI_in = V_oI_o
Ondulação do indutor: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Corrente média no indutor: buck I_o; boost e buck-boost I_o/(1 − D)
Ondulação da saída: buck ΔI_L/(8fC); boost e buck-boost I_o·D/(fC)
Limite da CCM: buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔI_L/2.

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Portas básicas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regras booleanas: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordem do mapa de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupo de 2ᵏ células: perde k variáveis
Multiplexador 4-para-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contadores: n bits: 2ⁿ estados; mod-N: menor n com 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Contador assíncrono (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Contadores em anel e Johnson: n e 2n estados

Método

Para um circuito, trabalhe das entradas até a saída, uma porta de cada vez, e escreva o valor em cada fio, ou escreva a sua expressão e preencha a tabela-verdade.
Para simplificar, coloque os 1s (e as condições irrelevantes como X) num mapa de Karnaugh com linhas e colunas em código Gray: 00, 01, 11, 10.
Cubra os 1s com o menor número possível de grupos, os maiores possíveis, de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, dando a volta pelas bordas; cada grupo é um termo produto formado pelas variáveis que permanecem constantes. Agrupe os 0s para a forma POS.
Para flip-flops e contadores, leia as entradas em cada borda ativa do clock, escreva o estado após cada borda e lembre-se de que um contador de n bits dá a volta após 2ⁿ estados.

2Exercícios

1.Diodos e transistoresMédia

Um transistor NPN com β = 200 tem polarização por divisor de tensão a partir de V_CC = 15 V: R₁ = 56 kΩ de V_CC até a base e R₂ = 8,2 kΩ da base até o terra. O resistor de coletor é R_C = 3,3 kΩ e o resistor de emissor é R_E = 1 kΩ. Considere V_BE = 0,7 V e use o equivalente de Thévenin do divisor (não despreze a corrente de base). Encontre a corrente de coletor I_C em mA.

V_CC = 15 VR₁ = 56 kΩR₂ = 8,2 kΩR_C = 3,3 kΩR_E = 1 kΩβ = 200

I_C = mA

2.Diodos e transistoresDifícil

Um diodo é modelado como 0,6 V em série com 50 Ω (ele conduz acima de 0,6 V). Ele está em série com um resistor de 330 Ω em uma fonte de 9 V. Encontre a corrente de operação I_D onde a reta do diodo encontra a reta de carga.

V_s = 9 VR = 330 ΩV₀ = 0,6 Vr_d = 50 Ω

I_D = mA

3.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = −2 VR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

4.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V₁ = 1,1 VV₂ = 1,8 VR₁ = 47 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 40 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 1 kΩC = 47 µFt = 40 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 8,4 V? Encontre t.

V_s = 6 VR = 6,8 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.Conversores CC-CCMédia

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 15 V em −15 V a 20 kHz com L = 150 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔI_L.

Vin = 15 VVo = −15 Vf = 20 kHzL = 150 µH

ΔI_L = A

10.Conversores CC-CCDifícil

Um conversor boost ideal converte 24 V em 60 V para uma carga de 12 Ω a 200 kHz. O capacitor de saída é de 220 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔV_o em mV.

Vin = 24 VVo = 60 Vf = 200 kHzC = 220 µFR = 12 Ω

ΔV_o = mV

11.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Encontre a resistência de Thévenin R_th da ponte mostrada, vista dos terminais de saída a e b.

V_s = 3 VR₁ = 800 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 150 ΩR₄ = 120 Ω

R_th = Ω

12.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma ponte com braços de 1000 Ω é excitada com 5 V e tem dois extensômetros ativos em braços adjacentes, um sob tração e outro sob compressão (meia ponte). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 600 µε. Encontre a saída da ponte V_o em mV.

V_s = 5 VGF = 2ε = 600 µε

V_o = mV

13.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flopsMédia

Use o mapa de Karnaugh para encontrar a forma mínima em soma de produtos (SOP) de F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 4). Quantos literais L ela contém no total (uma variável com apóstrofo conta como um literal)?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 4)

L =

14.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flopsDifícil

Encontre a forma SOP mínima de F(A, B, C, D) = Σm(5, 6, 12, 15) + d(2, 4, 10, 13, 14), em que d marca as condições irrelevantes (don’t-care). Quantos termos produto N ela tem?

F(A, B, C, D) = Σm(5, 6, 12, 15) + d(2, 4, 10, 13, 14)

N =

3Soluções

1.Diodos e transistores

Resposta: I_C = 1,168 mA

Ponto de polarização do TBJ: na região ativa V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B e I_E = (β + 1)·I_B. Encontre I_B pela malha da base com a LKT, depois I_C e então V_CE pela malha coletor–emissor. Um divisor de tensão na base é substituído por seu equivalente de Thévenin V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; um resistor de emissor aparece (β + 1) vezes maior na malha da base.

Equivalente de Thévenin do divisor

V_TH = 15·8,2/(56 + 8,2) = 1,916 V

R_TH = 56·8,2/(56 + 8,2) = 7,153 kΩ

Corrente de base

LKT na malha da base; a corrente de emissor é (β + 1)·I_B.

I_B = (1,916 − 0,7)/(7,153 + 201·1) = 5,841 µA

Corrente de coletor

I_C = 200·5,841 µA = 1,168 mA

I_E = 201·5,841 µA = 1,174 mA

Resposta

I_C = 1,168 mA

2.Diodos e transistores

Resposta: I_D = 22,11 mA

Circuitos com LED e diodos: um LED polarizado diretamente tem uma queda aproximadamente igual à sua tensão direta V_F (cerca de 2 V para vermelho, 3 V para azul ou branco), seja qual for a corrente. Um resistor em série define a corrente: R = (V_s − n·V_F)/I para n LEDs em série. Com um modelo de diodo mais exato, V = V₀ + I·r_d, o ponto de operação é onde a reta do diodo encontra a reta de carga I = (V_s − V)/R, de modo que I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Combine as duas equações

9 = 0,6 + I·(330 + 50)

Corrente de operação

I_D = 8,4/380 = 22,11 mA

V_D = 0,6 + 0,02211·50 = 1,705 V

Resposta

I_D = 22,11 mA

3.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −11,4 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = −2 V

I = V₋/R₁ = −2/10 = −0,2 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −2 + (−0,2)·47 = −11,4 V

Resposta

V_out = −11,4 V

4.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −1,823 V

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I₁ = V₁/R₁ = 1,1/47 = 0,0234 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,8/1 = 1,8 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,823 mA

Tensão de saída

V_out = −R_f·I_f = −1·1,823 = −1,823 V

Resposta

V_out = −1,823 V

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 4,438 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·1/(2,2 + 1) = 0,6875 kΩ

v_C(∞) = 20·1/(2,2 + 1) = 6,25 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 0,6875·47 = 32,31 ms

Curva de carga

v_C(t) = 6,25·(1 − e^−40/32,31) = 4,438 V

Resposta

v_C = 4,438 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 744,2 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

8,4 = 6 + (12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 6)/(18 − 6) = 0,2

t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 462,4·ln(5) = 744,2 ms

Resposta

t = 744,2 ms

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 29,23 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9,231 Ω

R_eq = R₁ + 9,231 = 20 + 9,231 = 29,23 Ω

Resposta

R_eq = 29,23 Ω

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,002 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 2 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 5,455 Ω

R₃ + 5,455 = 7,455 Ω

R₂ ∥ 7,455 = 5,971 Ω

R_eq = R₁ + 5,971 = 6 + 5,971 = 11,97 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,97 = 1,002 A

Resposta

I_R1 = 1,002 A

9.Conversores CC-CC

Resposta: ΔI_L = 2,5 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck V_o = D·V_in, boost V_o = V_in/(1 − D), buck-boost inversor |V_o| = V_in·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: V_in·I_in = V_o·I_o. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔI_L = V_L·D·T/L, com V_L = V_in − V_o no buck e V_in no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔV_o = ΔI_L/(8fC) no buck e I_o·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔI_L/2.

Ciclo de trabalho

D = 15/(15 + 15) = 0,5

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre V_in.

V_L = 15 V

Ondulação de corrente

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 15·0,5/(150·10⁻⁶·20·10³) = 2,5 A

Resposta

ΔI_L = 2,5 A

10.Conversores CC-CC

Resposta: ΔV_o = 68,18 mV

Ciclo de trabalho

D = 1 − 24/60 = 0,6

Corrente na carga

I_o = 60/12 = 5 A

Ondulação da saída

ΔV_o = 5·0,6/(200·10³·220·10⁻⁶) = 68,18 mV

Resposta

ΔV_o = 68,18 mV

11.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: R_th = 76,54 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Alimentação em curto

R₁∥R₂ = 800·10/810 = 9,877 Ω

R₃∥R₄ = 150·120/270 = 66,67 Ω

Resistência de Thévenin

R_th = 76,54 Ω

Resposta

R_th = 76,54 Ω

12.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 3 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2·600·10⁻⁶ = 0,0012

Saída da ponte

V_o = V_s·GF·ε/2 = 5·0,0012/2 = 3 mV

Resposta

V_o = 3 mV

13.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Resposta: L = 6

Mapas de Karnaugh: as células são ordenadas em código Gray (00, 01, 11, 10), de modo que células vizinhas, inclusive as que ficam nas bordas opostas, diferem em exatamente uma variável. Agrupe os 1s em retângulos de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, o maior possível e o menor número possível, até que todo 1 esteja coberto. Cada grupo é um termo produto: as variáveis que permanecem constantes dentro dele. Um grupo de 2ᵏ células perde k variáveis. As condições irrelevantes (X) podem ser usadas para aumentar grupos, mas nunca precisam ser cobertas. Agrupar os 0s dá a forma POS mínima.

Agrupe os 1s

Todo grupo é um retângulo de 2ᵏ células; as células das bordas são vizinhas das células da borda oposta.

B′C′

A′C′

A′B′

Forma SOP mínima

F = B′C′ + A′C′ + A′B′

L = 6

Resposta

L = 6

14.Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops

Resposta: N = 3

Implicantes primos

Os maiores grupos que podem ser formados com 1s e Xs.

CD′, BD′, BC′, AB

Cobertura mínima

F = CD′ + BC′ + AB

N = 3

Resposta

N = 3

Existe outro agrupamento do mesmo tamanho; ele tem o mesmo número de termos e de literais.

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