Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 40 exercícios, com soluções completas no final.
Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.
Encontre a corrente IR2 em R2.
Use análise nodal para encontrar a corrente IR1 em R1 no sentido da seta.
A fonte de tensão Vₛ entre A e B tem seu terminal + em B, então faz VB − VA = Vₛ. Use análise nodal com um supernó para encontrar a corrente Ix na fonte de tensão, de A para B como indicado pela seta.
Use análise de malhas para encontrar a tensão VR1 sobre R1 com a polaridade indicada.
Use análise de malhas para encontrar a corrente IR1 em R1 no sentido da seta.
Use superposição para encontrar a corrente IR3 em R3 no sentido da seta.
Use superposição para encontrar a corrente IR4 em R4 no sentido da seta.
Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.
Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.
O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão vL no indutor em t = 2 ms.
A chave em paralelo com R2 está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 5 ms.
Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.
Um circuito RLC série tem R = 1 Ω, L = 5 mH e C = 10 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.
Um motor monofásico consome 22 kW com fator de potência 0,6 indutivo de uma fonte de 400 V. Encontre a corrente de linha I.
Uma carga monofásica consome 30 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 230 V, 60 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,92. Encontre a capacitância C necessária.
Uma carga equilibrada ligada em Y com impedância de 16 + j12 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 480 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.
Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
Um transformador monofásico de 25 kVA, 4160/480 V opera na carga nominal. Considere-o ideal. Encontre a corrente ILV no enrolamento de baixa tensão.
Um transformador monofásico de 75 kVA tem perdas no núcleo de 375 W. Na carga nominal e com fator de potência 0,8 indutivo, seu rendimento é 98,5%. Encontre as perdas no cobre a plena carga Pcu,fl em watts.
O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R3 = R1 e R4 = R2. Encontre a tensão de saída Vout.
O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. As razões dos resistores não estão casadas. Encontre a tensão de saída Vout.
Um transistor NPN com β = 100 tem polarização por divisor de tensão a partir de VCC = 20 V: R₁ = 39 kΩ de VCC até a base e R₂ = 15 kΩ da base até o terra. O resistor de coletor é RC = 1,5 kΩ e o resistor de emissor é RE = 470 Ω. Considere VBE = 0,7 V e use o equivalente de Thévenin do divisor (não despreze a corrente de base). Encontre a tensão coletor–emissor VCE.
Um transistor NPN com β = 200 chaveia um resistor de carga de 100 Ω ligado entre VCC = 9 V e o seu coletor. O emissor está aterrado. A base é acionada por uma saída lógica de 5 V através de um resistor de base RB. Considere VBE = 0,7 V e VCE(sat) = 0,2 V. Encontre o maior resistor de base RB, em kΩ, que ainda leva o transistor exatamente à saturação.
Defina os bits para armazenar −73 em complemento de dois de 8 bits. Lido como um número sem sinal, qual é o valor U do padrão?
Defina os bits com o resultado de 8 bits de 1011 0011 << 2. Qual é o valor R do resultado em decimal?
Use o mapa de Karnaugh para encontrar a forma mínima em produto de somas (POS) de F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 9, 14, 15). Quantos termos soma (fatores) N ela tem?
Um contador mod-5 é construído com o número mínimo de flip-flops. Quantos dos estados possíveis U nunca são usados?
Encontre f(t) para F(s) = (3s + 14)/(s² + 8s + 16) e calcule f(0,5).
Um sistema obedece a y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), com y(0) = 5 e y′(0) = 0. Em t = 0 é aplicada uma entrada em degrau u(t) = 10. Use a transformada de Laplace para encontrar y(0,6).
A planta G(s) = 9/(s + 3) tem uma malha interna (secundária) de realimentação negativa com ganho H₁ = 2. Um ganho de controlador K = 17 e uma malha externa de realimentação negativa unitária fecham o sistema. Encontre o ganho CC de malha fechada T(0).
Reduza o diagrama de blocos com G₁ = 7/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), uma realimentação negativa interna H₁ = 4 em torno de G₂ e uma realimentação negativa externa H₂ = 0,2. Encontre o ganho CC T(0) de C(s)/R(s).
Um sistema tem a função de transferência G(s) = 153/(s² + 10s + 51) e recebe uma entrada em degrau unitário. Os polos são s = σ ± jωd. Encontre a parte real σ.
Uma malha de realimentação negativa unitária tem G(s) = 155/(s(s + 16)). Encontre o tempo de acomodação de 2 % ts da resposta ao degrau de malha fechada, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).
O Filtro passa-baixas RC mostrado tem R = 4,7 kΩ, C = 47 nF. Aplica-se uma entrada senoidal de 1,4 kHz. Encontre o ganho |H| = |vout/vin| em dB.
Uma malha com realimentação unitária tem a função de transferência de malha aberta L(s) = 28/(s(s + 2)(s + 5)). Encontre a frequência de cruzamento de fase ω180, onde ∠L(jω) = −180°.
A malha do diagrama tem a função de transferência de malha aberta L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6)). Encontre o maior ganho Kmax para o qual a malha fechada é estável.
Para L(s) = K/((s + 6)(s² + 8s + 25)), encontre o ângulo de partida θd do lugar das raízes a partir do polo complexo no semiplano superior, medido a partir do eixo real positivo.
Uma rampa r(t) = 5t é aplicada a uma malha com realimentação unitária com G(s) = 5(s + 3)/(s(s + 5)). Encontre o erro em regime permanente ess.
Um controlador PI C(s) = Kp + Ki/s controla a planta G(s) = 2/(s + 1) em uma malha com realimentação unitária. A malha fechada deve ter ωₙ = 6 rad/s e ζ = 0,8. Encontre o ganho proporcional Kp.
Resposta: IR1 = 0,5462 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
Resposta: IR2 = 1,024 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.
Resposta: IR1 = 1,362 A
Análise nodal: escolha um nó de referência, nomeie as tensões de nó desconhecidas, escreva a lei das correntes de Kirchhoff em cada nó desconhecido usando a lei de Ohm (I = ΔV/R) e resolva as equações.
O terra é o fio de baixo. As tensões de nó conhecidas vêm direto das fontes (V1 = 10 V). Incógnitas: VA, VB.
As correntes que saem de A pelos resistores são iguais à corrente injetada em A pelas fontes.
As correntes que saem de B pelos resistores são iguais à corrente injetada em B pelas fontes.
Resposta: Ix = −0,1745 A
Análise nodal: escolha um nó de referência, nomeie as tensões de nó desconhecidas, escreva a lei das correntes de Kirchhoff em cada nó desconhecido usando a lei de Ohm (I = ΔV/R) e resolva as equações.
A fonte de tensão entre A e B conduz uma corrente desconhecida, então a LKC não pode ser escrita em A ou em B separadamente. Envolva A, B e a fonte em um supernó: a corrente que entra nele é igual à corrente que sai.
LKC só no nó A: a corrente que chega por R₁ sai por R₂ e pela fonte de tensão.
Um resultado negativo significa que a corrente real flui contra a seta.
Resposta: VR1 = 10 V
Análise de malhas: dê a cada janela de um circuito planar sua própria corrente de laço, escreva a lei das tensões de Kirchhoff em cada laço (soma das quedas = soma das elevações) e resolva. As correntes de ramo são a corrente de malha, ou a diferença de duas correntes de malha em um ramo compartilhado.
Desenhe uma corrente no sentido horário em cada janela: I1, I2. Um resistor compartilhado por duas malhas conduz a diferença entre suas correntes.
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
Uma corrente de malha negativa flui no sentido anti-horário.
Resposta: IR1 = 0,9769 A
Análise de malhas: dê a cada janela de um circuito planar sua própria corrente de laço, escreva a lei das tensões de Kirchhoff em cada laço (soma das quedas = soma das elevações) e resolva. As correntes de ramo são a corrente de malha, ou a diferença de duas correntes de malha em um ramo compartilhado.
Desenhe uma corrente no sentido horário em cada janela: I1, I2, I3. Um resistor compartilhado por duas malhas conduz a diferença entre suas correntes.
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
Uma corrente de malha negativa flui no sentido anti-horário.
Resposta: IR3 = 4,846 A
Superposição: em um circuito linear, qualquer tensão ou corrente é a soma das respostas a cada fonte independente agindo sozinha. Para desligar uma fonte, substitua uma fonte de tensão ideal por um curto-circuito e uma fonte de corrente ideal por um circuito aberto. Os resistores ficam onde estão.
Iₛ vira um circuito aberto, então R₃ e R₄ formam um único ramo em série de A ao terra, em paralelo com R₂.
V₁ vira um curto, então R₁ fica em paralelo com R₂. Iₛ se divide em B entre R₄ e o caminho por R₃.
Um resultado negativo significa que, na verdade, a corrente flui contra a seta.
Resposta: IR4 = 1,525 A
Superposição: em um circuito linear, qualquer tensão ou corrente é a soma das respostas a cada fonte independente agindo sozinha. Para desligar uma fonte, substitua uma fonte de tensão ideal por um curto-circuito e uma fonte de corrente ideal por um circuito aberto. Os resistores ficam onde estão.
V₂ vira um curto e Iₛ um circuito aberto. Visto de A, R₃ está em paralelo com o par em série R₂+R₄.
As duas fontes de tensão viram curtos. Iₛ se divide em B entre R₄ (agora para o terra) e R₂ em série com R₁ ∥ R₃.
V₁ vira um curto e Iₛ um circuito aberto. R₁ ∥ R₃ sai de A, em série com R₂ de volta a B.
Um resultado negativo significa que, na verdade, a corrente flui contra a seta.
Resposta: Vth = 3,375 V
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.
Resposta: Vth = 47,6 V
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.
Resposta: vL = 4,463 V
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.
Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.
Resposta: i = 1,059 A
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.
Resposta: I = 0,705 A
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).
A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.
Resposta: B = 31,83 Hz
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.
Resposta: I = 91,67 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Só a parte ativa da potência realiza trabalho, então divida pelo fator de potência.
Resposta: C = 893,9 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
Resposta: P = 9,216 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.
Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.
Resposta: Cph = 640,6 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.
Resposta: ILV = 52,08 A
Transformador ideal: as tensões estão na razão das espiras e as correntes na razão inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, então a potência de entrada é igual à de saída, V₁·I₁ = V₂·I₂. Uma impedância de carga Z no secundário aparece como a²·Z vista do primário.
Os dois enrolamentos conduzem a mesma potência aparente.
Resposta: Pcu,fl = 538,7 W
Perdas no transformador: as perdas no núcleo (histerese e correntes parasitas) dependem da tensão e são as mesmas em qualquer carga. As perdas no cobre dos enrolamentos variam com o quadrado da corrente, então a uma fração x da carga nominal valem x²·Pcu,fl. Rendimento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), com Pout = x·S·pf. O rendimento é máximo na carga em que as perdas no cobre são iguais às perdas no núcleo.
Resposta: Vout = −3,404 V
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.
Resposta: Vout = −0,6405 V
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Com V₂ = 0, V₁ vê um amplificador inversor. Com V₁ = 0, V₊ é amplificada pelo ganho não inversor 1 + R₂/R₁.
Resposta: VCE = 3,555 V
Ponto de polarização do TBJ: na região ativa VBE = 0,7 V, IC = β·IB e IE = (β + 1)·IB. Encontre IB pela malha da base com a LKT, depois IC e então VCE pela malha coletor–emissor. Um divisor de tensão na base é substituído por seu equivalente de Thévenin VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂), RTH = R₁∥R₂; um resistor de emissor aparece (β + 1) vezes maior na malha da base.
LKT na malha da base; a corrente de emissor é (β + 1)·IB.
Resposta: RB = 9,773 kΩ
TBJ como chave: para ligar totalmente uma carga, o transistor é levado à saturação, onde VCE = VCE(sat) e a corrente de coletor é definida pela carga: IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC. A saturação exige no mínimo IB = IC(sat)/β. Se a corrente de base for menor, o transistor permanece na região ativa e IC = β·IB.
Qualquer resistor de base menor também satura o transistor; na prática escolhe-se um algumas vezes menor.
Resposta: U = 183
Definir bits: cada bit vale uma potência de dois (128, 64, …, 1). Um dígito hexadecimal são exatamente quatro bits, e em complemento de dois de 8 bits o bit mais à esquerda vale −128. As operações bit a bit atuam em cada posição de bit separadamente.
Resposta: R = 204
Definir bits: cada bit vale uma potência de dois (128, 64, …, 1). Um dígito hexadecimal são exatamente quatro bits, e em complemento de dois de 8 bits o bit mais à esquerda vale −128. As operações bit a bit atuam em cada posição de bit separadamente.
Deslocar para a esquerda por 2 move cada bit 2 posições para a esquerda; os bits que saem pela extremidade esquerda se perdem e entram zeros pela direita.
Resposta: N = 5
Mapas de Karnaugh: as células são ordenadas em código Gray (00, 01, 11, 10), de modo que células vizinhas, inclusive as que ficam nas bordas opostas, diferem em exatamente uma variável. Agrupe os 1s em retângulos de 1, 2, 4, 8 ou 16 células, o maior possível e o menor número possível, até que todo 1 esteja coberto. Cada grupo é um termo produto: as variáveis que permanecem constantes dentro dele. Um grupo de 2ᵏ células perde k variáveis. As condições irrelevantes (X) podem ser usadas para aumentar grupos, mas nunca precisam ser cobertas. Agrupar os 0s dá a forma POS mínima.
Todo grupo é um retângulo de 2ᵏ células; as células das bordas são vizinhas das células da borda oposta.
Existe outro agrupamento do mesmo tamanho; ele tem o mesmo número de termos e de literais.
Resposta: U = 3
Flip-flops e contadores: um flip-flop muda apenas na borda ativa do clock. D copia a sua entrada (Q⁺ = D); T inverte quando T = 1; JK mantém para 00, zera para 01, seta para 10 e inverte para 11. Um contador binário de n bits tem 2ⁿ estados e conta módulo 2ⁿ; um contador módulo N conta 0, 1, …, N − 1 e volta a 0, e precisa de flip-flops em número igual ao menor n com 2ⁿ ≥ N. Cada estágio de um contador assíncrono (ripple) divide a frequência por dois, de modo que a última saída de um contador módulo N funciona a fclk/N. Um contador Johnson de n flip-flops tem 2n estados, um contador em anel n.
Resposta: f(0.5) = 0,5413
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Resposta: y(0.6) = 18,28
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Verificação: y(0) = A + B + C = 5.
Resposta: T(0) = 0,8793
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Resposta: T(0) = 0,6863
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Resposta: σ = −5
Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
O denominador deve coincidir com s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Resposta: ts = 0,5 s
Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Nesta malha ζωₙ = a/2 seja qual for K: aumentar K aumenta o sobressinal, mas não encurta o tempo de acomodação.
Resposta: |H| = −6,79 dB
Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ωc = 1/(RC) ou R/L, e fc = ωc/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruzamento de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.
Resposta: ω180 = 3,162 rad/s
Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ωc = 1/(RC) ou R/L, e fc = ωc/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruzamento de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.
Resposta: Kmax = 240
Critério de Routh–Hurwitz: um sistema linear é estável quando todas as raízes do seu polinômio característico estão no semiplano esquerdo do plano s. Escreva os coeficientes alternadamente nas duas primeiras linhas da tabela de Routh. Cada elemento de uma nova linha vem das duas linhas acima; para um polinômio cúbico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ o elemento de s¹ é b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. O número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes no semiplano direito. Com um ganho K nos coeficientes, todos os elementos da primeira coluna devem permanecer positivos: o ganho que anula o elemento de s¹ é o limite de estabilidade, e a linha s² dá então a frequência da oscilação sustentada.
Todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos.
Em K = 240 a malha fechada oscila em ω = √24 = 4,899 rad/s.
Resposta: θd = 33,69 °
Lugar das raízes: quando o ganho K vai de 0 a ∞, os polos de malha fechada, as raízes de 1 + K·G(s) = 0, movem-se dos polos de malha aberta para os zeros de malha aberta ou para o infinito. Um ponto do eixo real pertence ao lugar das raízes quando o número de polos e zeros reais à sua direita é ímpar. Os n − m ramos que vão ao infinito seguem assíntotas nos ângulos (2q + 1)·180°/(n − m), que partem do centroide σₐ = (Σ polos − Σ zeros)/(n − m). Os ramos saem do eixo real ou chegam a ele onde dK/ds = 0. A condição de ângulo ∠G(s) = 180° fixa a forma, e a condição de módulo K = 1/|G(s)| dá o ganho em qualquer ponto do lugar das raízes.
Resposta: ess = 1,667
Erro em regime permanente: em uma malha com realimentação unitária e função de transferência de malha aberta G(s), o erro é E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e pelo teorema do valor final ess = lims→0 s·E(s). O tipo do sistema é o número de polos de G(s) em s = 0. As constantes de erro são Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Um degrau de tamanho A dá ess = A/(1 + Kp), uma rampa A·t dá A/Kv e uma parábola A·t²/2 dá A/Ka. Uma malha do tipo 0 segue um degrau com erro finito, uma malha do tipo 1 o segue exatamente e segue uma rampa com erro finito.
Resposta: Kp = 4,3
Controle P, PI e PID: o controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s atua sobre o erro. Um ganho proporcional torna a malha mais rápida e reduz o erro de uma planta do tipo 0, mas nunca o elimina. O termo integral acrescenta um polo em s = 0: o tipo do sistema sobe uma unidade, e um degrau é seguido sem erro. O termo derivativo acrescenta amortecimento. Para escolher os ganhos, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζωns + ωn². Então %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd com ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).
1 + C(s)G(s) = 0, multiplicada por s(s + 1).
O termo integral torna a malha do tipo 1, então um degrau é seguido sem erro em regime permanente.
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. O FE exam é realizado por NCEES, que não é afiliado ao ExamProblems e não o endossa.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical