Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 25 mm. No trecho largo a pressão é 360 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 75 mm e pressão manométrica de 50 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 30 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (manométrica)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 25 L/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 25 L/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 12 L/s?

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 12 m enquanto seu eixo absorve 15,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 100 L/sH = 12 mP_shaft = 15,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 20 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 350 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 20 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 350 kPa

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 235,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Resposta

F = 235,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,8 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·4,5 = 97,12 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 3,375/(2,5·4,5) = 2,8 m

Resposta

y_cp = 2,8 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 320 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 360 + (−40) = 320 kPa

Resposta

p₂ = 320 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 5,231 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade de saída

β = 30/75 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0,9744)) = 10,13 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 10,13²/(2·9,81) = 5,231 m

Resposta

H = 5,231 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 2,017 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,025/0,03142 = 0,7958 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,7958²/(2·9,81) = 0,03228 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,2)·0,7958²/(2·9,81) = 2,017 m

Resposta

h_f = 2,017 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 3,498 m

Velocidade

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 22 + 6,4)·0,119 = 3,498 m

Resposta

H = 3,498 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 74,98 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·12 = 11,77 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 11,77/15,7 = 74,98%

Resposta

η = 74,98%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 75,43 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,2905 = 19,75 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 20 + 35,68 + 19,75 = 75,43 m

Resposta

H = 75,43 m

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