Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 300 mm e diâmetro da garganta de 150 mm. A pressão na entrada é 42 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.
d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 42 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 50 mm enquanto sobe 4 m. Na seção 1 a pressão é 220 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 220 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 0,9 m/s em uma tubulação horizontal de 50 m de comprimento e diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 0,9 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 29 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 29 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba com rendimento de 82% fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 50 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Q = 100 L/sH = 50 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 19 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 120 L/sΔz = 19 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 36,79 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·3 = 36,79 kN
Resposta
F = 36,79 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 122,5 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,25·3,75 = 122,5 kN
Resposta
F = 122,5 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 167,3 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidade
v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2
Bernoulli entre a entrada e a garganta
O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·42000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,466 m/s
v1 = 2,366 m/s
Vazão
Q = A2·v2 = 0,01767·9,466 = 0,1673 m³/s = 167,3 L/s
Resposta
Q = 167,3 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 163,9 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(100/50)² = 6 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−16,88) − 39,24 = 163,9 kPa
Resposta
p2 = 163,9 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 4,455 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,1)·0,9²/(2·9,81) = 0,4541 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·0,4541 = 4455 Pa = 4,455 kPa
Resposta
Δp = 4,455 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 249,1 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,025·150/0,25 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
29 = (15 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·29/22,1) = 5,074 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 5,074·0,04909 = 0,2491 m³/s = 249,1 L/s
Resposta
Q = 249,1 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 59,82 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·50 = 49,05 kW
Potência no eixo
Pshaft = Ph/η = 49,05/0,82 = 59,82 kW
Resposta
Pshaft = 59,82 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 23,87 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 8)·0,3046 = 4,874 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
H = Δz + hL = 19 + 4,874 = 23,87 m
Resposta
H = 23,87 m
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