Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 340 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 75 mm e pressão manométrica de 90 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 40 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 90 kPa (manométrica)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 20 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 20 L/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,02) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 68 m. O rendimento da bomba é 85% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 92%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 20 L/sH = 68 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 25 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 198,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Resposta

F = 198,7 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 94,27 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·2,5 = 94,27 kN

Resposta

F = 94,27 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 241,6 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14,06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14,06²)/1000 = −98,38 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−98,38) = 241,6 kPa

Resposta

p₂ = 241,6 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 9,982 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade de saída

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9191)) = 13,99 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 13,99²/(2·9,81) = 9,982 m

Resposta

H = 9,982 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 58,17 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 58,17 m

Resposta

h_f = 58,17 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 8,064 m

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 20 + 3,4)·0,3305 = 8,064 m

Resposta

H = 8,064 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 17,06 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·68 = 13,34 kW

Potência no eixo

P_shaft = 13,34/0,85 = 15,7 kW

Potência elétrica

P_el = 15,7/0,92 = 17,06 kW

Resposta

P_el = 17,06 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 15,98 m

Velocidade

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0,102 = 8,977 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 7 + 8,977 = 15,98 m

Resposta

H = 15,98 m

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