Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 30 mm. O nível da água é mantido 3 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,65. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 3 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 75 mm e pressão manométrica de 130 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 25 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 130 kPa (manométrica)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,9 m/s em uma tubulação horizontal de 100 m de comprimento e diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,9 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 0,2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 56 m. O rendimento da bomba é 85% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 30 L/sH = 56 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 235,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Resposta

F = 235,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,042 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,25/(2·3) = 2,042 m

Resposta

y_cp = 2,042 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 3,525 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0007069·7,672 = 0,003525 m³/s = 3,525 L/s

Resposta

Q = 3,525 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 13,42 m

Velocidade de saída

β = 25/75 = 0,3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9877)) = 16,22 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 16,22²/(2·9,81) = 13,42 m

Resposta

H = 13,42 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 45,12 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,1)·1,9²/(2·9,81) = 4,6 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,6 = 45125 Pa = 45,12 kPa

Resposta

Δp = 45,12 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,813 m

Velocidade

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,3 = 5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Perda de carga total

h_f = 5·0,2295 = 1,148 m

h_m = 2,9·0,2295 = 0,6656 m

Δz = h_f + h_m = 1,813 m

Resposta

Δz = 1,813 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 20,41 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·56 = 16,48 kW

Potência no eixo

P_shaft = 16,48/0,85 = 19,39 kW

Potência elétrica

P_el = 19,39/0,95 = 20,41 kW

Resposta

P_el = 20,41 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 25,4 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,3305 = 15,04 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 6 + 15,04 = 21,04 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·21,04/0,65 = 25,4 kW

Resposta

P_shaft = 25,4 kW

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