Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 1300 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.

p₀ − p = 1300 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 50 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 3 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 3 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 50 mmz_C = +3 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 4 L/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 4 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 70% fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 44 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 30 L/sH = 44 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 200 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 15 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 200 kPa

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 208,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Resposta

F = 208,5 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,188 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2,25/(4·3) = 4,188 m

Resposta

y_cp = 4,188 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 46,55 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1300/1,2) = 46,55 m/s

Resposta

v = 46,55 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 15,06 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001963·7,672 = 0,01506 m³/s = 15,06 L/s

Resposta

Q = 15,06 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 18,61 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 18,61 m

Resposta

h_f = 18,61 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 9,453 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 16,5 + 11,1)·0,3305 = 9,453 m

Resposta

H = 9,453 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 18,5 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·44 = 12,95 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 12,95/0,7 = 18,5 kW

Resposta

P_shaft = 18,5 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 38,08 m

Velocidade

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,1859 = 6,693 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 20,39 + 6,693 = 38,08 m

Resposta

H = 38,08 m

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