Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 250 mm e diâmetro da garganta de 125 mm. A pressão na entrada é 32 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 32 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 320 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 320 kPav1 = 1 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,6 m/s em uma tubulação horizontal de 100 m de comprimento e diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 1,6 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 29 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 29 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 12 m. O rendimento da bomba é 65% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Q = 80 L/sH = 12 mηpump = 65%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 49,05 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN
Resposta
F = 49,05 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 77,7 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·3 = 77,7 kN
Resposta
F = 77,7 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 101,4 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidade
v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2
Bernoulli entre a entrada e a garganta
O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·32000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,262 m/s
v1 = 2,066 m/s
Vazão
Q = A2·v2 = 0,01227·8,262 = 0,1014 m³/s = 101,4 L/s
Resposta
Q = 101,4 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 288,5 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/50)² = 2,25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 2,25²)/1000 = −2,031 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 320 + (−2,031) − 29,43 = 288,5 kPa
Resposta
p2 = 288,5 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 18,77 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,15)·1,6²/(2·9,81) = 1,914 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,914 = 18773 Pa = 18,77 kPa
Resposta
Δp = 18,77 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 42,21 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
29 = (15 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·29/19,7) = 5,374 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 5,374·0,007854 = 0,04221 m³/s = 42,21 L/s
Resposta
Q = 42,21 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pel = 16,1 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·12 = 9,418 kW
Potência no eixo
Pshaft = 9,418/0,65 = 14,49 kW
Potência elétrica
Pel = 14,49/0,9 = 16,1 kW
Resposta
Pel = 16,1 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 44,03 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 8)·0,1291 = 2,453 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 30,58 + 2,453 = 44,03 m
Resposta
H = 44,03 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics