Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 100 mm e diâmetro da garganta de 60 mm. A pressão na entrada é 5 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 5 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 50 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 3 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 2 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 50 mmz_C = +3 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 25 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 25 L/sL = 800 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 48 m enquanto seu eixo absorve 117,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 150 L/sH = 48 mP_shaft = 117,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 9 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 91,97 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,5 = 91,97 kN

Resposta

F = 91,97 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 301,3 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·7,5 = 301,3 kN

Resposta

F = 301,3 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 9,584 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·5000/(1000·(1 − 0,1296))) = 3,39 m/s

v₁ = 1,22 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,002827·3,39 = 0,009584 m³/s = 9,584 L/s

Resposta

Q = 9,584 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 12,3 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001963·6,264 = 0,0123 m³/s = 12,3 L/s

Resposta

Q = 12,3 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 16,32 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 16,32 m

Resposta

h_f = 16,32 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,441 m

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perda de carga total

h_f = 14,67·0,06529 = 0,9575 m

h_m = 7,4·0,06529 = 0,4831 m

Δz = h_f + h_m = 1,441 m

Resposta

Δz = 1,441 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 60,01 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·48 = 70,63 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 70,63/117,7 = 60,01%

Resposta

η = 60,01%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 31,64 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62,5 + 6)·0,3305 = 22,64 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 9 + 22,64 = 31,64 m

Resposta

H = 31,64 m

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