Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 290 kPa e a velocidade é 2,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 130 kPa e a velocidade é 2,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 130 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,9 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,9 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 24 m. O rendimento da bomba é 82% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 94%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 60 L/sH = 24 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 10 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 30 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 73,58 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Resposta

F = 73,58 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,048 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 3,906/(1,75·7,5) = 2,048 m

Resposta

y_cp = 2,048 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 247 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−42,95) = 247 kPa

Resposta

p₂ = 247 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 65,59 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−15,36) − 49,05 = 65,59 kPa

Resposta

p₂ = 65,59 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 79,42 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,25)·1,9²/(2·9,81) = 8,096 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·8,096 = 79420 Pa = 79,42 kPa

Resposta

Δp = 79,42 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 10,3 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 26,4 + 6,4)·0,3046 = 10,3 m

Resposta

H = 10,3 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 18,33 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·24 = 14,13 kW

Potência no eixo

P_shaft = 14,13/0,82 = 17,23 kW

Potência elétrica

P_el = 17,23/0,94 = 18,33 kW

Resposta

P_el = 18,33 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 14,26 m

Velocidade

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 5)·0,1469 = 4,26 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 10 + 4,26 = 14,26 m

Resposta

H = 14,26 m

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