Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 330 kPa e a velocidade é 2,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 60 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 25 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 60 kPa (manométrica)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,5 m/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,5 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. A superfície da água do reservatório superior está 13 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 13 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 76 m. O rendimento da bomba é 75% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 94%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 30 L/sH = 76 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 72%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 119,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN

Resposta

F = 119,6 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 145,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·7,5 = 145,7 kN

Resposta

F = 145,7 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 324,5 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 4²)/1000 = −5,469 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 330 + (−5,469) = 324,5 kPa

Resposta

p₂ = 324,5 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 6,14 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade de saída

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0,9961)) = 10,98 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 10,98²/(2·9,81) = 6,14 m

Resposta

H = 6,14 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 1,752 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,2)·2,5²/(2·9,81) = 1,752 m

Resposta

h_f = 1,752 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 221,3 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

13 = (13,33 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/26,03) = 3,13 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,13·0,07069 = 0,2213 m³/s = 221,3 L/s

Resposta

Q = 221,3 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 31,73 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·76 = 22,37 kW

Potência no eixo

P_shaft = 22,37/0,75 = 29,82 kW

Potência elétrica

P_el = 29,82/0,94 = 31,73 kW

Resposta

P_el = 31,73 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 2,062 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0,06529 = 1,567 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 6 + 1,567 = 7,567 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·7,567/0,72 = 2,062 kW

Resposta

P_shaft = 2,062 kW

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