Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 4 mH = 2 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 3 mH = 1,5 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 54 kPaQ = ?

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 300 mm e diâmetro da garganta de 150 mm. A pressão na entrada é 54 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 54 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
d1​ = 150 mmd2​ = 75 mm12Δh = 60 mmmercúrioQ = ?

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 150 mm, garganta de 75 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 60 mm. O coeficiente de descarga é 0,95. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 60 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 2,9 m/sD = 50 mmL = 800 mf = 0,025

Água escoa com velocidade média de 2,9 m/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.

V = 2,9 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 10saída livreH = ?L = 300 m, D = 300 mm, f = 0,0222× curva (K = 0,3)

Uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 100 L/sH = 80 m

Uma bomba com rendimento de 78% fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 80 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.

Q = 100 L/sH = 80 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
PQ = 40 L/sΔz = 19 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,022, ΣK = 5

Uma bomba transporta 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 19 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 40 L/sΔz = 19 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 196,2 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
comportad = 4 mH = 2 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN

Resposta

F = 196,2 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 113,1 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
comportad = 3 mH = 1,5 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,75·3 = 113,1 kN

Resposta

F = 113,1 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 189,7 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·54000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,73 m/s
v1 = 2,683 m/s

Vazão

Q = A2·v2 = 0,01767·10,73 = 0,1897 m³/s = 189,7 L/s

Resposta

Q = 189,7 L/s
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 16,69 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,06 = 7416 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·7416/(1000·(1 − 0,0625))) = 3,978 m/s

Vazão real

Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,004418·3,978 = 0,01669 m³/s = 16,69 L/s

Resposta

Q = 16,69 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: hf = 171,5 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,05)·2,9²/(2·9,81) = 171,5 m

Resposta

hf = 171,5 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 1,957 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·300/0,3 = 22
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 22 + 11,1)·0,05738 = 1,957 m

Resposta

H = 1,957 m
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: Pshaft = 100,6 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·80 = 78,48 kW

Potência no eixo

Pshaft = Ph/η = 78,48/0,78 = 100,6 kW

Resposta

Pshaft = 100,6 kW
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 26,05 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0,2611 = 7,051 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + hL = 19 + 7,051 = 26,05 m

Resposta

H = 26,05 m

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