Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 0,5 mH = 1 m

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 2,5 mH = 3 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
12d1​ = 100 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 320 kPa e a velocidade é 1,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 320 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
d1​ = 200 mmd2​ = 100 mm12Δh = 100 mmmercúrioQ = ?

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 200 mm, garganta de 100 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 100 mm. O coeficiente de descarga é 0,97. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 100 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 1,6 m/sD = 100 mmL = 500 mf = 0,022

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,6 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,6 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 2saída livreH = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0,0184× curva (K = 0,3)

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,018) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 20 L/sH = 68 m

Uma bomba com rendimento de 70% fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 68 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.

Q = 20 L/sH = 68 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
350 kPa (manométrica)PQ = 75 L/sΔz = 11 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0,018, ΣK = 4

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 350 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 4ptank = 350 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 9,81 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
comportad = 0,5 mH = 1 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN

Resposta

F = 9,81 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 241,3 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
comportad = 2,5 mH = 3 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4·6 = 241,3 kN

Resposta

F = 241,3 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 261,7 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/40)² = 10,94 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 10,94²)/1000 = −58,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−58,28) = 261,7 kPa

Resposta

p2 = 261,7 kPa
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 39,12 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,1 = 12361 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 100/200 = 0,5
v2 = √(2·12361/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,135 m/s

Vazão real

Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,007854·5,135 = 0,03912 m³/s = 39,12 L/s

Resposta

Q = 39,12 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 140,8 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,1)·1,6²/(2·9,81) = 14,35 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·14,35 = 140800 Pa = 140,8 kPa

Resposta

Δp = 140,8 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 0,8197 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 10,8 + 3,7)·0,05288 = 0,8197 m

Resposta

H = 0,8197 m
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: Pshaft = 19,06 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·68 = 13,34 kW

Potência no eixo

Pshaft = Ph/η = 13,34/0,7 = 19,06 kW

Resposta

Pshaft = 19,06 kW
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 50,45 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 4)·0,2905 = 3,776 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 35,68 + 3,776 = 50,45 m

Resposta

H = 50,45 m

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