Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 200 kPa e a velocidade é 2,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 75 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 240 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,9 m/s em uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,9 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,018) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 74 m enquanto seu eixo absorve 72,6 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 60 L/sH = 74 mP_shaft = 72,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 21 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 82%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 44,15 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Resposta

F = 44,15 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 5,636 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 3,375/(5,5·4,5) = 5,636 m

Resposta

y_cp = 5,636 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 143,3 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−56,72) = 143,3 kPa

Resposta

p₂ = 143,3 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 203,1 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−7,5) − 29,43 = 203,1 kPa

Resposta

p₂ = 203,1 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 9,002 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,2)·2,9²/(2·9,81) = 9,002 m

Resposta

h_f = 9,002 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 1,482 m

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 18 + 3,7)·0,06529 = 1,482 m

Resposta

H = 1,482 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 60 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·74 = 43,56 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 43,56/72,6 = 60%

Resposta

η = 60%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 26,72 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,408 = 23,67 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 21 + 23,67 = 44,67 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·44,67/0,82 = 26,72 kW

Resposta

P_shaft = 26,72 kW

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