Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 0,5 mH = 1 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 0,5 mH = 1 m

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
12d1​ = 200 mm, p1​ = 390 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 200 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 390 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 390 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
12d1​ = 75 mm, p1​ = 160 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 40 mm enquanto sobe 2 m. Na seção 1 a pressão é 160 kPa e a velocidade é 1,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 160 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 1,2 m/sD = 200 mmL = 100 mf = 0,028

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,2 m/s em uma tubulação horizontal de 100 m de comprimento e diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,2 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 300 mm, f = 0,024× curva (K = 0,3)

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 150 L/sH = 54 m

Uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 54 m. O rendimento da bomba é 65% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.

Q = 150 L/sH = 54 mηpump = 65%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
100 kPa (manométrica)PQ = 100 L/sΔz = 16 mL = 600 m, D = 250 mm, f = 0,025, ΣK = 8

Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 16 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 100 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 100 L/sΔz = 16 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 19,62 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
comportad = 0,5 mH = 1 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·2 = 19,62 kN

Resposta

F = 19,62 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 12,36 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
comportad = 0,5 mH = 1 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1·1 = 12,36 kN

Resposta

F = 12,36 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 376,1 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(200/75)² = 5,333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 5,333²)/1000 = −13,94 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−13,94) = 376,1 kPa

Resposta

p2 = 376,1 kPa
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 131,5 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(75/40)² = 4,395 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 4,395²)/1000 = −8,875 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 160 + (−8,875) − 19,62 = 131,5 kPa

Resposta

p2 = 131,5 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 10,08 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,2)·1,2²/(2·9,81) = 1,028 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,028 = 10080 Pa = 10,08 kPa

Resposta

Δp = 10,08 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 4,828 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perda de carga total

hf = 13,33·0,2295 = 3,06 m
hm = 7,7·0,2295 = 1,767 m
Δz = hf + hm = 4,828 m

Resposta

Δz = 4,828 m
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: Pel = 128,7 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·54 = 79,46 kW

Potência no eixo

Pshaft = 79,46/0,65 = 122,2 kW

Potência elétrica

Pel = 122,2/0,95 = 128,7 kW

Resposta

Pel = 128,7 kW
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 40,58 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,2115 = 14,38 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 16 + 10,19 + 14,38 = 40,58 m

Resposta

H = 40,58 m

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