Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 20 mm. O nível da água é mantido 5,5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,6. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 5,5 mCd = 0,6g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 75 mm enquanto sobe 6 m. Na seção 1 a pressão é 190 kPa e a velocidade é 3 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 190 kPav1 = 3 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa com velocidade média de 2 m/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
V = 2 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 23 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 23 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba com rendimento de 85% fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 68 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Q = 60 L/sH = 68 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 78%. Encontre a potência no eixo Pshaft em kW.
Q = 15 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 71,74 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN
Resposta
F = 71,74 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 4,188 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 6,75/(4·9) = 4,188 m
Resposta
ycp = 4,188 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 1,958 L/s
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Velocidade ideal do jato
√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s
Vazão real
O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,6·0,0003142·10,39 = 0,001958 m³/s = 1,958 L/s
Resposta
Q = 1,958 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 63,64 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/75)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−67,5) − 58,86 = 63,64 kPa
Resposta
p2 = 63,64 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 11,96 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Carga cinética
V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,3)·2²/(2·9,81) = 11,96 m
Resposta
hf = 11,96 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 29,63 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,018·150/0,1 = 27
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
23 = (27 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·23/31,7) = 3,773 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 3,773·0,007854 = 0,02963 m³/s = 29,63 L/s
Resposta
Q = 29,63 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 47,09 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·68 = 40,02 kW
Potência no eixo
Pshaft = Ph/η = 40,02/0,85 = 47,09 kW
Resposta
Pshaft = 47,09 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 3,636 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1859 = 4,276 m
Altura manométrica da bomba
H = Δz + hL = 15 + 4,276 = 19,28 m
Potência no eixo
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·19,28/0,78 = 3,636 kW
Resposta
Pshaft = 3,636 kW
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