Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 320 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 100 mm, garganta de 60 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 190 mm. O coeficiente de descarga é 0,99. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 190 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 50 L/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 50 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 20 m enquanto seu eixo absorve 2,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 10 L/sH = 20 mP_shaft = 2,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 34 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 34 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 121,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Resposta

F = 121,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 45,32 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·1,5 = 45,32 kN

Resposta

F = 45,32 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 315,8 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−4,219) = 315,8 kPa

Resposta

p₂ = 315,8 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 20,56 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,19 = 23485 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 60/100 = 0,6

v₂ = √(2·23485/(1000·(1 − 0,1296))) = 7,346 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,002827·7,346 = 0,02056 m³/s = 20,56 L/s

Resposta

Q = 20,56 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,06376 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,05/0,07069 = 0,7074 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,7074²/(2·9,81) = 0,0255 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,3)·0,7074²/(2·9,81) = 0,06376 m

Resposta

h_f = 0,06376 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 10,64 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Perda de carga total

h_f = 16,5·0,5164 = 8,521 m

h_m = 4,1·0,5164 = 2,117 m

Δz = h_f + h_m = 10,64 m

Resposta

Δz = 10,64 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 70,07 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·20 = 1,962 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 1,962/2,8 = 70,07%

Resposta

η = 70,07%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 39,59 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,2905 = 5,592 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 34 + 5,592 = 39,59 m

Resposta

H = 39,59 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics