Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 200 kPa e a velocidade é 1,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 200 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
Uma mangueira com diâmetro interno de 32 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 0,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta pC no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.
d = 32 mmzC = +0,5 mz2 = −1 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,3 m/s em uma tubulação horizontal de 50 m de comprimento e diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 2,3 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 32 m enquanto seu eixo absorve 20,9 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 50 L/sH = 32 mPshaft = 20,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 150 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 30 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 150 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 309 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN
Resposta
F = 309 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 1,556 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·1 = 14,71 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 0,08333/(1,5·1) = 1,556 m
Resposta
ycp = 1,556 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 196,7 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/75)² = 3,111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 3,111²)/1000 = −3,308 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−3,308) = 196,7 kPa
Resposta
p2 = 196,7 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: pC = 86,58 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade na mangueira
A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.
v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s
Bernoulli da superfície até C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(4,429²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 14,71 = 86,58 kPa
Resposta
pC = 86,58 kPa
Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 66,12 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,05)·2,3²/(2·9,81) = 6,741 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·6,741 = 66125 Pa = 66,12 kPa
Resposta
Δp = 66,12 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δz = 1,636 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Perda de carga total
hf = 8,333·0,102 = 0,8501 m
hm = 7,7·0,102 = 0,7855 m
Δz = hf + hm = 1,636 m
Resposta
Δz = 1,636 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 75,1 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·32 = 15,7 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 15,7/20,9 = 75,1%
Resposta
η = 75,1%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 25,35 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 4)·0,1469 = 2,056 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 15,29 + 2,056 = 25,35 m
Resposta
H = 25,35 m
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