Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 270 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 50 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 0,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 2,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 50 mmz_C = +0,5 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,4 m/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,4 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 16 m. O rendimento da bomba é 82% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 94%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 20 L/sH = 16 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 17 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 66,22 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Resposta

F = 66,22 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 166,9 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4,5 = 166,9 kN

Resposta

F = 166,9 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 268,9 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−1,143) = 268,9 kPa

Resposta

p₂ = 268,9 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 13,75 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001963·7,004 = 0,01375 m³/s = 13,75 L/s

Resposta

Q = 13,75 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 19,18 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,075)·1,4²/(2·9,81) = 19,18 m

Resposta

h_f = 19,18 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 8,961 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perda de carga total

h_f = 18,75·0,2905 = 5,447 m

h_m = 12,1·0,2905 = 3,515 m

Δz = h_f + h_m = 8,961 m

Resposta

Δz = 8,961 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 4,073 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·16 = 3,139 kW

Potência no eixo

P_shaft = 3,139/0,82 = 3,828 kW

Potência elétrica

P_el = 3,828/0,94 = 4,073 kW

Resposta

P_el = 4,073 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 31,54 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,3305 = 14,54 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 17 + 14,54 = 31,54 m

Resposta

H = 31,54 m

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