Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 40 mm. O nível da água é mantido 4 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,62. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².
d = 40 mmh = 4 mCd = 0,62g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 75 mm e pressão manométrica de 80 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 40 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 80 kPa (manométrica)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,1 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 2,1 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 30 m enquanto seu eixo absorve 53,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 150 L/sH = 30 mPshaft = 53,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 16 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 350 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 100 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 350 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 44,15 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN
Resposta
F = 44,15 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 5,067 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·5·3 = 150,8 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5 + 1/(5·3) = 5,067 m
Resposta
ycp = 5,067 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 6,902 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade ideal do jato
√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
Vazão real
O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,62·0,001257·8,859 = 0,006902 m³/s = 6,902 L/s
Resposta
Q = 6,902 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: H = 8,873 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade de saída
β = 40/75 = 0,5333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0,9191)) = 13,19 m/s
Altura do jato
Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.
H = v2²/(2g) = 13,19²/(2·9,81) = 8,873 m
Resposta
H = 8,873 m
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 66,15 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,3)·2,1²/(2·9,81) = 6,743 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·6,743 = 66150 Pa = 66,15 kPa
Resposta
Δp = 66,15 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δz = 1,056 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,018·100/0,3 = 6
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Perda de carga total
hf = 6·0,05738 = 0,3443 m
hm = 12,4·0,05738 = 0,7115 m
Δz = hf + hm = 1,056 m
Resposta
Δz = 1,056 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 82,05 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·30 = 44,15 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 44,15/53,8 = 82,05%
Resposta
η = 82,05%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 54,64 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,2115 = 2,961 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 16 + 35,68 + 2,961 = 54,64 m
Resposta
H = 54,64 m
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