Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 3 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 100 kPa e a velocidade é 2,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 100 kPav1 = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 75 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 390 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 390 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 6 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 6 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,025) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 50 L/s?
Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 32 m enquanto seu eixo absorve 62,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 150 L/sH = 32 mPshaft = 62,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 2,5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 100 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 2,5ptank = 100 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 110,4 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·3 = 110,4 kN
Resposta
F = 110,4 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 213,7 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·5,5·4,5 = 213,7 kN
Resposta
F = 213,7 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 91,83 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 100 + (−8,169) = 91,83 kPa
Resposta
p2 = 91,83 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 340,3 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 390 + (−0,6076) − 49,05 = 340,3 kPa
Resposta
p2 = 340,3 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 213,2 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 213,2 m
Resposta
hf = 213,2 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: H = 13,1 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,025·150/0,15 = 25
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
Equação da energia
O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.
H = (1 + 25 + 6,1)·0,408 = 13,1 m
Resposta
H = 13,1 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 74,98 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·32 = 47,09 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 47,09/62,8 = 74,98%
Resposta
η = 74,98%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 17,75 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 2,5)·0,1859 = 2,556 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 10,19 + 2,556 = 17,75 m
Resposta
H = 17,75 m
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