Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 2 mH = 3 m

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 0,5 mH = 1 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 21 kPaQ = ?

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 250 mm e diâmetro da garganta de 125 mm. A pressão na entrada é 21 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 21 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
12d1​ = 100 mm, p1​ = 380 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 75 mm enquanto sobe 7 m. Na seção 1 a pressão é 380 kPa e a velocidade é 2,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 380 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 1,7 m/sD = 200 mmL = 200 mf = 0,018

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,7 m/s em uma tubulação horizontal de 200 m de comprimento e diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,7 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 2saída livreH = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0,0153× curva (K = 0,3)

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 15 L/sH = 58 m

Em um ensaio, uma bomba fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 58 m enquanto seu eixo absorve 10,9 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 15 L/sH = 58 mPshaft = 10,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
PQ = 20 L/sΔz = 15 mL = 400 m, D = 100 mm, f = 0,015, ΣK = 6

Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 70%. Encontre a potência no eixo Pshaft em kW.

Q = 20 L/sΔz = 15 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6η = 70%
Pshaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 103 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
comportad = 2 mH = 3 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Resposta

F = 103 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 24,72 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
comportad = 0,5 mH = 1 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1·2 = 24,72 kN

Resposta

F = 24,72 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 82,14 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·21000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,693 m/s
v1 = 1,673 m/s

Vazão

Q = A2·v2 = 0,01227·6,693 = 0,08214 m³/s = 82,14 L/s

Resposta

Q = 82,14 L/s
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 303,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 380 + (−8,169) − 68,67 = 303,2 kPa

Resposta

p2 = 303,2 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 26,01 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,2)·1,7²/(2·9,81) = 2,651 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,651 = 26010 Pa = 26,01 kPa

Resposta

Δp = 26,01 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 6,145 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 7,5 + 3,4)·0,5164 = 6,145 m

Resposta

H = 6,145 m
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 78,3 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·58 = 8,535 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 8,535/10,9 = 78,3%

Resposta

η = 78,3%
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: Pshaft = 10,32 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,3305 = 21,81 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + hL = 15 + 21,81 = 36,81 m

Potência no eixo

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·36,81/0,7 = 10,32 kW

Resposta

Pshaft = 10,32 kW

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